Notatki z pliku notes/kondziu/kondziu_0000.00.00.md

Wstęp do Fizyki Teoretycznej

Notatki z pliku notes/kondziu/kondziu_2026.06.26.md

Powtarzamy do egzaminu misiaczki! yay!

Wykład 1

Równaniei ruchu to relacja między położeniami a prędkościami w układzie.

Więzy to zależności nakłądane na układ. Zmniejszają one stopień swobody o 1. Wyróżniamy:

kategoria

przykłąd

przeciwieństwo

przykład

jednostronne

\(f(...) > 0 ~ f(...) < 0\)

dwustronne

\(f(...) = 0\)

skleronomiczne

pochodna f się zeruje

reonomiczne

pochodna się nie zeruje

holonomiczne

f zależy tylko od położenia i czasu

nieholonomiczne

f zależy też od pochodnych

Zmienne uogulnione to parametry układu (uwzględniają stopnie swobody)

Lagranżjan

Niech funkcja \(L \equiv L(q, \dot q, t) = T - V\) opisuje bilans energii kinetycznej i potencjalnej.

Notatki z pliku notes/kondziu/kondziu_2026.06.27.md

działanie

to funkcjonał (czyli przyjmuje funkcje i zwraca liczbe) opisujący zmiane lagranżjanu (czyli bilansu energii) wzdłuż trajektorii

\[ S \equiv \int_{t_1}^{t_2} L dt \]

Zasada najmniejszego działania mówi, że wszechświat jest leniwy: $\frac{\delta S}{\delta q(t)}

Równanie Eulera-Lagrange’a:

\[ \delta S = S[q(t) + \delta q(t)] - S[q(t)] \]

Korzystająć z rozwinięcia Teylora \(f(x + \delta x,y + \delta y) = f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac {\partial f}{\partial y} \delta y\):

\[\begin{split} \delta S &= \int_{t_1}^{t_2} dt \left(L + \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot q \right) - \int_{t_1}^{t_2} dt L \\ \delta S &= \int_{t_1}^{t_2} dt \left(\cancel L + \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot q \right) - \cancel{\int_{t_1}^{t_2} dt L} \\ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q\right) &= \delta q \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} \delta q \\ \delta S &= \int_{t_1}^{t_2} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q\right) - \delta q \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \\ \delta S &= \int_{t_1}^{t_2} dt \delta q \left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q - \delta q \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) + \left. \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q \right|_{t_1}^{t_2} \\ \end{split}\]

Zakłada się, że na krańcach trajektorii, system jest w stanie ustalonym, więc warjacja \(q\) zmierza do zera, dlatego:

\[\begin{split} \delta S = \int_{t_1}^{t_2} dt \delta q \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \\ \end{split}\]

Zgodnie z zasadą najmniejszego działąnia, \(\delta S\) musi znikać. Ponieważ \(\delta q\) nie może zanikać:

\[\begin{split} \delta S = 0 \Leftrightarrow \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} = 0 \\ \end{split}\]

Własnośći lagranżjanu:

  • Można bezkarnie doać pochodną dowolnej funkcji po czasie \(L + \frac{d f(q, \dot q, t)}{dt} \Leftrightarrow L\)

  • Operator eulera-lagrange’a jest liniowy dla lagranżjanu (\(\alpha E(L_1) + \beta E(L_2) = E(\alpha L_1 + \beta L_2))\)

Wykład 2

Układ odniesienia porusza się z prędkością \(\vec{v}\) (stałą) i jest układem inercjalnymm.

zarówno w układzie inercjalnym jak i we wszystkich układach odniesienia obowiązują te same prawa fizyki.

Transformacja galileusza:

Niech \(\vec r^*\) oznacza położenie układu odniesienia względem ukłądu inercjalnego (obserwatora)

\[\begin{split} \vec r^*(t) &= \vec r(t) + \vec R_0 \vec v t \\ \dot{\vec r^*}(t) &= \dot{\vec r}(t) + \vec v \end{split}\]

Ważne

czas płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia (jest uniwersalny)

Nie no to tak na prawde scam bo potem jest Einstain ale na razie nie ma.

Całka ruchu oznacza, że dana wielkość nie zmienia się w czasie.

\(f(q, \dot q)\) nazywamy całką ruchu, jeżeli \(\frac{\df }{dt} = 0\).

Twierdzenie Noether

Jeżeli występuje symetria to coś jest zachowane. Formalnie:

\[ \delta L(q(t, \epsilon), \dot q(t, \epsilon), t)|_{\epsilon \to 0} = \frac{d}{dt} f(q, t) \]

Chodzi o to, że czasem nie da się znaleźć takiego \(F\) żeby spełniało równanie.

Jeżeli ukłąd spełnia równanie E-L, to istnieje całka ruchu:

\[ I = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_I} \frac{\partial q_i}{\partial \epsilon} |_{\epsilon \to 0} - f(q,t) = const \]

Prawo zachowania energii: \(\frac{d}{dt} \left(\sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0\)

Translacja lagrangianu o wektor w przestrzeni nie zmienia praw fizyki.

No i tak można iść dalej (pęd, obrót o kąt)

Funckja Rayligha pozwala na uwzględnienie tarć w lagrangianie. Normalnie lagrangian jest dla ukłądów tzw. zachowawczych, czyli nie tracących energii. W prawdziwym świecie jednak nie ma takich systuacji.

\[ R(\vec v) = \frac{1}{2} \sum_{j \in xyz} \sum_i \lambda_i^j (\vec v _i^j)^2 \]

Róœnanie ruchu z uwzględnieniem funkcji Rayligha

\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} + \frac{\partial R}{\partial \dot q_J} = Q_j \]

Twierdzenie o dysypacji:

Funkcja Rayligha odpowiada za połowę mocy traconej \(\frac{dE}{dt} = -2R\) (z tw. Eulera o fukncjach jednorodnych)

Możńa reozważyć rzeczywisty oscylator z tłumieniem rayleigha + po dodaniu wymuszenia można szukać rezonansu.

Wykład 4

Najważniejsze punkty do zapamiętania (chyba z poprzedniego?):

  • zasada Hamiltona \(\delta S = 0\)

  • Twierdzenie Noether - symetrie (np. zachowanie momentu pędu)

  • rezonans w rzutach liniowych - straty tysypatytwne ratują oscylator przed nieskończonością (\(\frac{\partial E}{\partial t} = -2R\))

Zasada d’Alamberta: Praca wszystkich sił w ukłądzie (zewnętrznych i wewnętrznych) musi być równa zeru:

\[ \sum_i \left(F_i^{(ext)} - m \ddot r \right) = 0 \]

Tensor Momentu bezwłądności definiuje się jako macierz 3x3 opisująca bezwładność bryły (rozkłąd masy) wzdłuż każdej osi:

\[ I_{ij} = \int_\Omega d^3r \rho(\vec r) (r^2\delta^{ij} - r^i r^j) \]

Uogulnione twierdzenie Steinera (to dla momentu bezwładności):

Przesuwanie osi obrotu o wektor \(\vec a\) od środka masy:

\[ I_{jk} \to I_{jk}^{(CM)} + M(|a|^2 \delta^{jk} - a^j a^k) \]

Notatki z pliku notes/kondziu/kondziu_2026.06.28.md

Dygresja - wyprowadzenie transformacji lorentza

Transformacja typu:

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x' = ax + bt \\ t' = Cx + dt \end{matrix}\right. \end{split}\]

  1. początek ukłądu współrzędnych \(s'\) porusza się w ukłądzie odniesienia z prędkością \(v\) czyli dla \(x'=0\), \(x=vtt\)

\[\begin{split} 0 &= a v t + bt \\ 0 &= t (av + b) \Leftrightarrow b = -a v \\ \\ \left\{\begin{matrix} x' = ax - av t \\ t' = cx + dt \end{matrix}\right. \end{split}\]

Niech \(a = \gamma\)

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x' = \gamma x - \gamma v t \\ t' = Cx + dt \end{matrix}\right. \end{split}\]

  1. 1 postulat einstaina - zasada względności - transformacja do \(s'\) musi mieć analogiczną transformacje z powrotem do \(s\):

\[\begin{split} x = \gamma x' + \gamma v t' \\ \end{split}\]

  1. 2 postulat Einsteina - prędkość światła w każdym układzie wynosi \(c\). Zakładamy błysk światłą wyemitowany w chwili \(t = t' = 0\), więc pzycja tych błyskóœ będzie opisana przez \(x=ct\).

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} c t' = \gamma c t - \gamma v t \\ c t = \gamma c t' + \gamma v t' \\ \end{matrix}\right. \\ \\ c^2 t t' = \gamma^2 t t' (c - v)(c + v) \\ c^2 = \gamma^2 (c - v)(c+v) \\ \gamma^2 = \frac{c^2}{c^2 - v^2} \\ \gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \\ \gamma = \sqrt \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \\ \end{split}\]

mamy zatem postać \(\gamma\)

  1. Należy znaleźć postać \(t'\)

\[\begin{split} x = \gamma x' + \gamma v t' \\ t' = \frac{x - \gamma x'}{\gamma v} \\ t' = \frac{x - \gamma (\gamma x - \gamma v t)}{\gamma v} \\ t' = \frac{(1-\gamma^2) x + \gamma^2 v t}{\gamma v} \\ t' = \frac{(1-\gamma^2) x}{\gamma v} + \gamma t \\ \frac{1-\gamma^2}{\gamma} &= \frac{1 - \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\gamma} \\ &= \frac{\frac{1 - \frac{v^2}{c^2} - 1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\gamma} \\ &= \frac{\frac{- \frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\gamma} \\ &= \frac{- \frac{v^2}{c^2} \gamma^2}{\gamma} \\ &= - \frac{v^2}{c^2} \gamma \\ t' = -\frac{v}{c^2}\gamma x + \gamma t \\ \end{split}\]

Więc:

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} C &= -\frac{v}{c^2}\gamma \\ d &= \gamma \end{matrix}\right. \end{split}\]

Ostatecznie:

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x' &=& \gamma x - \gamma v t \\ t' &=& \gamma t - \frac{v}{c^2} \gamma x \\ \end{matrix}\right. \end{split}\]

W jednostkach naturalnych (\(c=1\))

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x' &=& \gamma (x - v t) \\ t' &=& \gamma (t - v x) \\ \end{matrix}\right. \end{split}\]

Wykład 5

Pęd uogulniony zapisuje się wzorem $p_i = \pfrac{\partial L}{\partial \dot q_I}*

Hamiltonian \(H = \sum_i p_i \dot q_i - L\)

Przestrzeń fazowa to przestrtzeń w któ©ej bazę stanowią wszystkie uogulnione położenia i pędy (czyli to co byłop na MOF v(x) to specyficzny przypadek)

Objętość punktów w przestrzeni fazowej jset zachowana (tw Liouville’a).

Nawiasy Poissona to antykomutator pochodnych po p i q działających na f i g.

Jeżeli nawias poissona z hamiltonem \(\{f,H\} = 0\) to \(f\) jest całką ruchu.

Równania Hamiltona

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} \dot q_i &=& \frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot p_i &=& \frac{\partial H}{\partial q_i} \end{matrix}\right. \end{split}\]

Wykłąd 7

Konwencja sumacyjna:

  • jeżeli wskaźnik pojawia się na gó©ze i na dole to jest to wskaźnik niemy i w domyśłe jest po nim suma

  • jeżeli wskaźnik pojawia się po obu stronach wyrażenia to jest to wksaźnik wolny i determinuje wymiar wyjściowej macierzy

Iloczyn skalarny \(g\):

\[ g(x,y) = x \cdot y = \braket{x|y} = g_{ij} x^i y^j = x_i y^i \]

Dla ukłądu euklidesowego (czyli chyba tak normalnie) \(g_ij \equiv \delta_{ij}\)

Ale w OTW: \(g \equiv g_{ij} (M, \vec{x})\) cokolwiek to znaczy.

Tensor metryczny (metryka) \(g_{ij} g^{ij} = \delta_i^j\)

Podnoszenie i opuszczanie wskaźników:

\[\begin{split} v_i = g_{ij}v^j \\ v^i = g^{ij} v_j \end{split}\]

konstrukty:

  • prosta: \(x^i(t) = x_0^i + tv^i\)

  • hiperpłaszczyzna: \(n_i(x^i-x_0^i)\)

Operatory pochodnej dla 3d

  • rotacja \(\nabla \times \vec A \Rightarrow \epsilon^{ijk} \partial_j A_k\)

  • gradient \(\nabla \phi \Rightarrow \partial_i \phi\)

  • dywergencja \(\nabla \cdot \vec A \Rightarrow \partial_i A^i\)

  • laplasjan \(\Delta \phi = g^{ij} \partial_i \partial_j \phi\)

problem włąsny macierzy \(\mathbb{A}x = \lambda x\):

  • w mechanice kwantowej hamiltonian daje energie \(\hat H x = E x\)

  • coś tam w ciastkach też sie robi.

Wykłąd 8

STW:

  1. prawa fizyki są takie same we wszystkich ukłądach odniesienia

  2. prędkość światła to max prędkość i jest niezależna od ruchu układu

STW

OTW

duże prędkośći

duże masy

4-wektory

tensory \(g_{ij}\)

metryka minkowskiego

krzywizna czasoprzestrzeni