Notatki z pliku notes/ceio/ceio_0000.00.00.md

Cząstki ELementarne i Oddziaływania

Notatki z pliku notes/ceio/ceio_2026.06.20.md

Powtórka przed egzaminem

Wykłąd 1

../../_images/particles.png

Podział cząstek

Do kwarków i leptonów istnieją antycząstki (antykwarki, pozytrony, anty-muony, e.t.c.).

Wskazówka

Używamy jednostek naturalnych (\(c=1 ~ h = 1\))

Cząstki oddziaływują ze sobą przez tzw. Cząstki Wirtualne.

Czteropęd

Czteropęd definiujemy jako:

\[ P = (E, \vec{p}) \]

Ważne, że \(P^2 \equiv m^2\)

Metryka czterowektorów:

\[\begin{split} g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

Informacja

Rozważamy przejście \(A(m_A, 0) \to A(E_A, \vec{p_A}) + X(E_X, \vec{p_X})\) Chcemy wyznaczyć różnićę energii \(\Delta E = E_2 - E_1\) (gdzie \(E_1 = m_A\) a \(E_2 = E_A + E_X\))

Można zapisać, że:

\[\begin{split} P^2 \equiv m^2 = E^2 - p^2 \\ E^2 = m^2 + p^2 \\ E = \sqrt{m^2 + p^2} \end{split}\]

więc:

\[ \Delta E = \sqrt{m_A^2 + p_A^2} + \sqrt{m_X^2 + p_X^2} - m_A^2 \]

na przykłąd dla \(p = p_A = p_X \to 0 ~ \Delta E \to m_X\).

Czas życia cząstki wirtualnej (odpowiedzialnej za oddziaływanie) wynosi \(\tau <= \frac{1}{\Delta E} = \frac{1}{m_X}\).

Zasięg oddziaływania można zdefiniować jako odległość jaką cząstka przebędzie w trakcie czasu życia \(R = \frac{1}{m_X}\) (Tak możńa bo robimy naturalne jednostki).

Wskazówka

Przykłądowo dla oddziaływania EM zasięg jest nieskończony, a cząstką pośredniczącą (wirtualną jest foton), stąd można zauważyć, że: \(R\to \infty \Rightarrow m_\gamma \to 0\)

Wykłąd 2

Czterowektory (przykłady):

  • położenia \(x^\mu = (t,x,y,z)\)

  • energii-pędu \(P^\mu = (t, \vec{p})\)

  • Potencjału \(A^\mu = (\phi, \vec{A})\)

  • gęstości prądu \(j^\mu = (\rho, \vec{J})\)

Transformacje Lorentza czterowektorów

\[ f' = \gamma (f - \beta g) \]

Wyróżniamy dwa typy cząstek:

  • rzeczywiste (\(m^2>0 ~ v < c\)). Mają czterowektory czasopodobne

  • wirtualne (\(m^2 < 0\)). Mają czterowektory przestrzennopodobne

Wskazówka

Cząstka relatywistyczna to taka, gdzie \(|E-m| \gg m\). Wtedy do obliczeń można przyjąć, że \(m \sim 0 \Rightarrow E = p\)

Ukłąd środka masy to taki, w którym suma pędów wszystkich cząstek wynosi 0

\[ \sum_i \vec{p_i} = 0 \]

Z tego faktu wynikają oczywiste rzeczy (np, że \(m = \sum_i E^*_i\)) gdzie \(E^*_i\) to energia i-tej cząstki w ukłądzie środka masy.

Układ laboratoryjny to ukłąd, w którym jedna z cząstek (zwana tarczą) spoczywa (\(\vec{p_2} = 0\)).

Rozpady: Masa rozpadającej się cząstki jest równa masie niezmienniczej tych co wypadają (trywialne).

Przekrój czynny to miara prawdopodobieńśtwa zajścia procesu.

\[ R = L \sigma \epsilon \]

gdzie:

  • \(R\) - ilość obserwowanych rozpadów w jednostce czasu

  • \(\sigma\) - przekrój czynny

  • \(L\) - świetlność - liczba wiązek cząstki na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni.

Jednostka: \(1 barn = 10^{-28} m^2\)

Rozpady: (wiadomo co to rozpad chyba, nie?)

Mamy parametry typu średni czas życia, prawdopodobieńśtwo rozpadu e.t.c.).

Można mówić o Decay Rate czyli p-stwo na jednostkę czasu że isę rozpadnie \(\Gamma\).

\[ N(t) = N(0) exp(-\Gamma t) \]

Branching ratio

No jak cząstka rozpada się na różne sposoby, to można policzć jaka cześć rozpadnie sie rozpadem \(i\):

\[ BR(i) = \frac{\Gamma_i}{\Gamma} \]

Wykład 3

Zderzenia: (definicja jest trywialna)

Złota reguła fermiego

Pozwala na wyliczenie:

\[ W = \Gamma_{fi} = 2\pi |T_{fi}|^2 \rho(E_i) = 2\pi \bra{f} \hat{H'} \ket{i} \rho(E_i) \]

gdzie:

  • \(i\) oraz \(f\) to stany końcowy i początkowy

  • \(|T_{fi}|^2\) to amplituda przejścia. Im większa, tym częstsze przejście

  • \(\rho(E_i)\) degeneracja stanu końcowego - ile stanów o tej samej energii

Równanie Schrödingera: mamy funkcje falową \(\Psi\) która zawiera info o pędzie i energii stanu (\(\ket\Psi\))

Możemy zdefiniować operatory do “wyciągania” informacji z funkcji falowej

  • \(\hat{P} = - i \nabla\)

  • \(\hat{E} = i \frac{\partial}{\partial t}\)

Wartości własne operatora dają nam wyniki pomiaru (trywialne, po prostu mądrze powiedziane że zadziałanie operatorem na \(\Psi\) daje to co chcemy razy \(\Psi\))

\[\begin{split} \hat{H} = \frac{p^2}{2m} + V \\ i \hbar \frac{d}{dt} \ket\Psi = \hat{H} \ket\Psi \end{split}\]

Są też napisane trywialne rzeczy na tym slajdzie to ich nie przepisuje.

A no i funfact: Hamiltonian nie zależy od czasu (więc jest zachowany - energia jest zachowana). A wszystko co komutuje z hamiltonianem to też jest zachowane. Pozdro.

Równanie Kleina-Gordona - Chodzi o to żeby równanie Schrödingera było niezmiennicze lorentzowsko (relatywistyczne).

Bierzemy niezmiennik relatywistyczny:

\[\begin{split} P^2 \equiv m^2 = E^2 - p^2 \\ \end{split}\]

Podstawiamy jawne postacie operatorów i mnożymy przez \(\ket\Psi\)

\[\begin{split} E^2 - p^2 = m^2 \\ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \Delta = m^2 \\ \left(- \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \Delta\right)\ket\Psi = m^2 \ket\Psi \\ \end{split}\]

Mamy równanie K-G. Daje ono czasem niefizyczne wyniki (ujemne energie i gęstości prawdopodobieństwa).

Rozwiązaniem części przestrzennej jest potencjał Yukawy.

Równanie Diraca Działa jak równanie Schroödingera, ale achowuje niezmienniczość względem transformacji Lorentza

Można zapamiętać, że R. Diraca jest pierwiastkiem z K-G:

\[ \left(i\gamma^0\frac{\partial}{\partial t} + i \vec\gamma \cdot \nabla - m\right) \ket\Psi = 0 \]

gdzie: \(\gamma\) jest odpowiednią macierzą (tak jak na teoretycznej).

Równanie Diraca pozwoliło przewidzieć istnienie pozytronu. (taki funfact)

Wykład 4

Najpierw są omówione diagramy feymana, ale to w miare oczywiste więc skip.

Potem wymieniamy wyższe poprawki dla pomiaru energii elektronu (?). Chodzi o to , że elektron potrafi wyemitować foton, który potem sobie tworzy pare elektron,pozytron, anichiluje i robi dalej co miał robić, albo tworzy takie pary kilka razy.

Stosuje się wtedy tak zwaną renormalizacje (czyli odejmujemy od sumy możliwych diagramów feymana danego przejścia sume 2wszystkich przejść w chmurze cząstek wirtualnych, w efekcie dostajemy \(\infty - \infty\) i dostajemy skończoną wartość.).

Ceną za renormalizacje jest uzależnienie pomairu energiii od przenoszonego czteropędu \(P^2\). (czyli np. \(e_0 \to e_0(P^2)\)).

UWzględnia się następująće poprawki:

  • polaryzacja próżni (emisja par proadzi do ekranowania łądunku)

  • renormalizacja masy (sama energia elektronu fluktuuje)

  • anomalie momentu magnetycznego (zmiana ładunk ma wpływ na moment magnetyczny)

Wykłąd 6

  • Akceleratory przyśpieszają cząstki.

  • Można albo zderzać cząstki ze sobą albo z tarczą.

  • Świetlność decyduje o jakości akcleratora

  • istnieją 2 typy akceleratoróœ:

    • liniowe (faza wstępna, dowalamy duże napięcie i lecimyyyyy)

    • kołowe (Pole magnetyczne używane do zakręcania, elektryczne do przyspieszania) \(\omega = \frac{e B}{m \gamma}\)

Wykład 7

Oddziaływania słabe: Wszystko odziałuje słabo (nawet Ty). Oddziaływanie przez ciężki bozon \(W_\pm\). Przykłądem jest rozpad beta (\(p \to N + e^- + \bar{\nu_e}\))