Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_0000.00.00.md

Matematyka 2¶

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_06.05.2024.md

Całka powierzchniowa niezorientowana¶

i$$ x = x(u,v)\\ y = y(u,v) \\ z = z(uxv \\ u,v, \in \Delta $$)

wektor normalny

\[\begin{split} \vec{V} = det \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

W szczegulnym przypadku, kiedy obszar jest opisany wykresem funkcji

\[ u = x v = y z = f(x,y) \]

\[ \iint_S f(x,y,z) ds = \iint_S f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} dudv \]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.02.26.md

Całki dla przeciałów nieskończonych¶

\[\begin{split} \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx \\ \end{split}\]

Całka jest zbierzna, jeżeli

\[ \int_a^\infty f(x) dx < \infty \]

Przykład

\[\begin{split} \int_1^\infty \frac{1}{x} dx \\ \int_1^b \frac{1}{x} dx = \left|ln(x)\right|_1^b \\ \lim_{b \to \infty} ln(b) - ln(1) \to \infty \end{split}\]

Ta całka nie jest zbierzna.

Całki funkcji nieskończonych¶

Jeżeli $f(x) \to \infty ~ x \to b$, to mówimy, że $\int_a^b f(x) dx$ jest zbierzna, jeśli $\exists \lim_{\psi \to b} \int_a^\psi f(x) dx$.

\[ \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\psi \to \infty} ln(1) - ln(\psi) = -\infty \Rightarrow \text{Całka jest rozbierzna} \]

Szczególne przypadki całek na przedziałach nieograniczonych¶

Kiedy całka $\int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha} dx$ jest zbierzna?

\[\begin{split} \int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha} dx = \left| \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right |_ 1^\infty = \\ = \lim_{b \to \infty} \frac{b^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha} \end{split}\]

Całka jest zbierzna dla $1-\alpha < 0

\[ \int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \psi^1 - \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \]

Kryteria porównawcze¶

jeżeli $$f(x) > 0 \land f(x) < g(x) \in \left(a,b\right)$ i $\int_a^b g(x) dx$ jest zbierzna to $\int_a^b f(x) dx$ też jest zbierzna.
jeżeli $f(x)$ jest asymptotycznie zbierzne z $g(x)$ to $\int_a^b f(x)$ i $\int_a^b g(x)$ są obie równocześnie zbierzne lub rozbierzne.

>

Szeregi¶

Zobacz także

Szerzej rozważane w MATEMATYKA 3

\[\begin{split} \sum_{i=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_\infty \\ \end{split}\]

Jeżeli ciąg $a_n$ jest zbierzny, wtedy mówimy, że szereg jest zbierzny.

Rozważmy tzw. szereg harmoniczny:

\[\begin{split} \sum_n=1^\infty \frac{1}{n} \\ \end{split}\]

bezwzględna zbierzność

jeżeli $\int_a^b f(x) dx$ jest zbierzna, to t acałka jest bezwzględnie zbierzna jeżeli $\int_a^b |f(x)| dx$

Informacja

Jeżeli całka $\int_a^b f(x)dx$ jest bezwzględnie zbierzna, to jest również zbierzna

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.02.27.md

Funkcja Gamma Eulera¶

\[ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt \]

W otoczeniu 0

\[ \Gamma ~ \int_0^\infty t^{x-1} dt \]

Funkcja jest zbierzna jeżeli $1 - x < 1 \Leftrightarrow x > 0$

W “otoczeniu” $\infty$

\[\begin{split} \text{dla } t \to \infty \\ t^{x-1} \leq e^t \\ \end{split}\]

Własnośći¶

$\Gamma(x+1) = x * \Gamma(x)$

dowóð z obliczenia całki $\Gamma(x+1)$ przez części

$\Gamma(1) = \left. -e^{-t} \right|_ 0^\infty = 1$
Definicja silni

\[\begin{split} \Gamma(2) = 1 * \Gamma(1) = 1 \\ \Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2 * \Gamma(2) = 2 \\ \Gamma(4) = 3 * \Gamma(3) = 6 \\ \\ \Gamma(n+1) = n! \\ \end{split}\]

$\Gamma(\alpha) * \Gamma(1-\alpha) = \frac{\pi}{sin(\pi \alpha)}$

$n! ~ n^n * e^{-n} * \sqrt{2\pi n}$

Funkcja $\beta$¶

\[\begin{split} \beta(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha) * \Gamma(\beta) }{\Gamma(\alpha + \beta)} = \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx \\ \\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^{2}} = \sqrt{\pi} \end{split}\]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.03.05.md

Równania Różniczkowe¶

postać ogólna równania różniczkowego zwyczajnego I Rzędu

\[ F(x,y,y') \]

Rząd róœnania zależy od najwyższego rzędu pochodnej z tego róœnania.

Krzywa całkowa

wykres całki szczególnej - rozwiązania róœnania różniczkowego

Przykłąd 1¶

\[\begin{split} y' = x^4 + 2x \\ \int y' dx = \int x^4 + 2x dx \\ y = \frac{1}{5}x^5 + x^2 + C \end{split}\]

Przykład 2¶

\[\begin{split}y' = x^4 + 2x ~ y(0) = 1 \\ \int y' dx = \int x^4 + 2x dx \\ y = \frac{1}{5}x^5 + x^2 + C \\ 1 = \frac{1}{5}0^5 + 0^2 + C \Rightarrow C = 1 \\ y = \frac{1}{5}x^5 + x^2 + 1 \\\end{split}\]

Przykłąd 3¶

\[\begin{split} y' = 1+y^2 \\ \frac{y'}{1+y^2} = 1 \\ \int \frac{y'}{1+y^2} dx = \int dx \\ \int \frac{\frac{dy}{\cancel{dx}}}{1+y^2} \cancel{dx} = \int dx \\ arctg(y) = x \\ y = tg(x + C) ~ X \in \left(-\frac{\pi}{2} -C, \frac{\pi}{2}-C)\right) \end{split}\]

Twierdzenie o istnieniu rozwiązań równania różniczkowego

jeżeli prawa strona równania różniczkowego jest funkcją ciągłą w obszarze D, to przez każdy punkt tego obszaru musi przechodzić conajmniej jedna krzywa całkowa.

warunek na jedyne rozwiązanie problemu początkowego

Oprócz ciągłości prawej strony zakłada się również ciągłość pochodnej cząstkowej $\frac{\partial y}{\partial x}$

Przyład 4¶

\[\begin{split} y' = \root{3}\of{y^2} \\ \end{split}\]

Zauważmy, że $f(x)=0$ jest rozwiązaniem równania

\[\begin{split} \frac{y'}{\root{3}\of{y^2}} = 1 \\ \int \frac{dy}{\root{3}\of{y^2}} = x \\ 3 \root{3}\of{y} = x + C \\ \end{split}\]

Równania Różniczkowe o zmiennych rozdzielonych¶

Postać ogólna równania różniczkowego o zmienych rozdzielonych

\[ y' = \frac{f(x)}{g(x)} \]

Rozwiązanie problemu coshiego

Jeżeli f jest ciągła w X i g jest ciągła i różna od 0 w Y, to $(x,y) \in X \times Y$ przechodzi jedna krzywa całkowa

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} dy * g(y) = dx * f(x) \int dy * g(y) = \int dx * f(x) \]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.03.11.md

Równania liniowe¶

Równania liniowe 1 rzędu¶

\[\begin{split} y' + p(x) * y = f(x) \\ niech~ L(y) = y' + p(x) * y \\ L(y_1 + y_2) = L(y_1) + L(y_2) \\ L(\alpha y) = \alpha L(y) \\ \end{split}\]

Mówi się, że równanie jest liniowe, jeżeli lewa strona jest liniowa ze względu na y.

Informacja

jeżeli $f(x) = 0$, mówimy o równaniu jednorodnym.

Wskazówka

niech $y^{*}$ i $y$ będą rozwiązaniami równania liniowego niejednorodnego, wtedy

\[\begin{split} L(y^{*}) - L(y) = f(x) - f(x) = 0 \\ L(y^{*} - y) = 0 \end{split}\]

Z tego wynika, że różnica $y^{*} - y$ jest rozwiązaniem równania jednorodnego

tw. kukurydzy

\[ CORN = CSRN + CORJ \]

CORN = całka ogólna równania niejednorodnego
CSRN = Całka szczególna równania jednorodnego
CORJ = Całka ogólna równania jednorodnego

\[\begin{split} y' + p(x) y = 0 \\ \frac{dy}{y} = -p(x) dx \\ \int \frac{dy}{y} = \int -p(x) dx \\ ln(y) = \int p(x) dx + C \\ |y| = e^{\int p(x) dx} + C \\ CORJ: \quad y = Ce^{\int p(x) dx} \\ \end{split}\]

Metoda Uzmienniania stałej:¶

Szuikamy CSRN W postaci $y(x) = C(x) * e^{-\int p(x) dx}$

\[\begin{split} C'(x) * e^{-\int p(x) dx} + \cancel{C(x) * (-p(x)) e^{-\int p(x) dx}} + \cancel{p(x)* C(x)e^{-\int p(x) dx}} = f(x) \\ C'(x) * e^{-\int p(x) dx} = f(x) \\ C'(x) = f(x) e^{\int p(x) dx} C(x) = \int f(x) e^{\int p(x) dx} \end{split}\]

Metoda Przewidywania¶

Jeżeli $p(x) = const$

\[\begin{split} \frac{dy}{dx} + 3y = x^2 \\ \end{split}\]

Pomińmy COFJ, CSRN: Rozwiązaniem Najprawodopodobniej będzie wielomian stopnia 2

\[\begin{split} y=Ax^2 + Bx + C \\ y' = 2Ax + b \\ 2Ax + B + 3Ax^2 + 3Bx + 3C = x^2 \\ \left\{\begin{matrix} 3A = 1 \\ 2A + 3B = 0 \\ B + 3C = 0 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = \frac{1}{3} \\ B = \frac{-2}{9} \\ 3C = \frac{2}{27} \\ \end{matrix}\right. \end{split}\]

Jeżeli f(x) jest w postaci funkcji trygonometrycznych, zakładamy rozwiązanie w postaci $Asin(x) + Bcos(x)$

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.03.18.md

Równania II liniowe rzędu¶

\[\begin{split} y'' = x^2 \\ y' = \frac{x^3}{3} + C \\ y = \frac{x^4}{12} + C x + C_1 \\ \end{split}\]

Wskazówka

rodzina funkcji wyjściowych zeleży od 2 parametrów

\[ y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x) \]

Informacja

liniowe, ponieważ $L(y_1 + y_2) = L(y_1) + L(y_2) \land L(\alpha y) = \alpha L(y)$

Informacja

twierdzenie CORN nadal zachodzi

Rozważmy nastęþujące równanie:

\[\begin{split} y'' + py' + qy = 0 \\ \end{split}\]

Macierz Wrońskiego

Dwa rzowiażania rówania jednordnego stanowią tzw. układ fundamentalny jeżeli następujący wyznacznik $\left|\begin{matrix}y_1 (x) & y_2 (x) \\ y_1'(x) & y_2'(x)\end{matrix}\right| \neq 0$

Jeżeli $y_1(x)$ oraz $y_2(x)$ stanowią ukłąd fundamentalny dla RJ, to $y = C_1 y_1 + C_1 y_2$ to CORJ.

Ponadto zagadnienie Coshiego tj. $\left\{\begin{matrix}y(x_0) = a \\ y'(x_0) = b\end{matrix}\right.$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ROzwiązania szukamy w postaci $y = e^{r * x}$. Udowadniamy z dowodu nie-wprost.

\[ r^2 + pr + q = 0 \]

jeżeli $\Delta > 0$ istnieją 2 pierwiastki.

\[ y = e^{r_1 x} + e^{r_2 x} \]

$\Delta = 0$

\[\begin{split} r = \frac{-p}{2} \\ \\ y_1 = e^{rx} \\ y_2 = x * e^{rx} \end{split}\]

$\Delta < 0$

załóżmy, że rozważamy róœnanie w dziedzinie $\mathbb{C}$

\[\begin{split} r_1 = \alpha + \beta i \\ y_1 = e^{\alpha x} cos \beta x \\ y_2 = e^{\alpha x} sin \beta x \end{split}\]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.03.19.md

Funkcje wielu zmiennych¶

$I \to \mathbb{R}^n$¶

\[ \vec{f} : I \to \mathbb{R}^N \]

Pochodna;

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{d\vec{f}}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{f}(t_0 + h) - \vec{f}(t_0)}{h} \\ ... \\\end{split}\\\frac{d}{dt}(f \times g) = \frac{df}{dt} \times g + \frac{dg}{dt} \times f \end{aligned}\end{align} \]

$f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$¶

Przykład:

\[ f(x, y) = x^2 + y^2 \]

granice wielu zmiennych

jeżeli chcemy liczyć granice kilku zmiennych to tak nie można.

Jeżeli $x, y \to (0,0)$ można przejść na współrzędne biegunowe, ale wtedy okaże się że granicy nie ma, dyż zależy ona od kąta $\phi$

Tw. Boltzmana-Weierstrassa

metoda polowania na lwa. Obszar ogradzamy i dzielimy na 4 części za każdym razem

Jeźli otoczenie punktu $x_0$ jest rozłączne, to x jest punktem zewnętrznym.

Jeśli U = int(u) $\Rightarrow U$ otwarty

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.03.25.md

Pochodne cząstkowe¶

Granicę $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}$ o ile istnieje nazywamy pochodną cząstkową względem zmiennej $x$ i oznaczamy $\frac{\partial f}{\partial x}$.

Tw. Schwartza

Jeżeli pochodne mieszane są ciągłe, to są równe.

Funkcja 2 zmiennych jest klasy $C^1$ jeżeli $\frac{\partial f}{\partial x}$ i $\frac{\partial f}{\partial y}$ są ciągłe.

Funkcja jest klasy $C^2$ jeżeli $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ są ciągłe.

Pojęcie różniczkowalności¶

\[ f(\vec{x}-\vec{h}) - f(\vec{x}) = L_{\vec{x}}(\vec{h}) + o(||h||) \]

Pochodna funkcji złożonych¶

niech $f(x,y,z) \land x=x(t)~y=y(t)~z=z(t)$. Wtedy $F(t) = f(x(t),y(t),z(t))$ Wtedy $\frac{dF}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x } * \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dt}$

Pochodna kierunkowa¶

Niech $\omega=(cos \alpha, cos \beta, cos \gamma)$ będzie wektorem jednostkowym.

Granica

\[ \lim_{t \to 0} \frac{f(x+t cos\alpha, y+t*cos \beta, z+t*cos \gamma)}{t} \]

o ile istnieje nazywana jest pochodną $f$ w kierunku $\omega$ i oznaczamy $\frac{\partial f}{\partial \omega}$

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.03.26.md

Wskazówka

gradient równy $1$ pokazuje kierunek największego wzrostu funkcji

Funkcje uwikłane¶

tw. o funkcji uwikłanej

niech funkcja $f(x,y)$ będzie klasy $C^1$ w obszarze $D$.

$f(x_0, y_0) = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$ w punkcie $(x_0, y_0)$
istnieje prostokąt postaci $P=(x_0-\delta, x_0 + \delta) \times (y_0 - \varepsilon, y_0 + \varepsilon)$, taki że $f(x, y) = 0$ ma jednoznaczne rozwiązanie $y = \varphi(x)$ taki, że $F(x, f(x)) = 0$

tw. o funkcji uwikłanej w przestrzeni $\mathbb{R}^3$

Jeżeli $F$ jest klasy $C_1$ w obszarze $D$

$F(x_0, y_0, z_0) = 0$
$\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ w punkcie $(x_0, y_0, z_0)$
istnieje funkcja $z = z(x,y)$ taka, że $F(x, y, z(x,y)) = 0$

płaszczyzna styczna¶

Informacja

Ogólne róœnanie płaszczyzny to $Ax + By + Cz + D = 0$

Szukana płaszczyzna ma równanie $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Równanie płaszczyzny ma postać $\frac{\partial f}{\partial x}(x- x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0$

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.04.09.md

Pole potencjalne

pole nazywamy potecjalnym, jeżeli $\exists U(x) ~ grad U(x) = F(x)$

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.04.15.md

Rachunek całkowy wielu zmiennych¶

Całka podwójna¶

Niech $f = f(x,y)$

$F: P \to \mathbb{R} ~ P = [a,b] \times [c,d]$

Przypuśćmy, że mamy prostokąt (płąszczyznę) nad którą znajduje się wykres $f$.

Załużmy, że musimy obliczyć objętość pod wykresem $f$.

Tworzymy 3 sumy (jakd dla całek) dla prostopadłościanów skłądających się na wykres funkcji. ($s_n$ dla najmniejszej wartości, $S_n$ dla największej oraz $\sigma$)

Definicja

Jeżeli przy każdym, coraz drobniejszym, podziale prostokąta $P$ ciąg $\sigma_n$ dąży do tej samej granicy niezależnej od podziału, ani od wyboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji $f$ po prostokącie $P$ i oznaczamy $\iint_P f(x,y) dxdy$.

Informacja

Całka $\iint_P f(x,y) dxdy$ nie zawsze istnieje

Całka podwójna nie dla prostokąta¶

jeżeli nie mamy prostokąßa, rozszeżamy naszą funkcję żeby była na prostokącie Przykłądowo: $f = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

zbiór miary 0

Jeżeli zbiór $A$ jest zbiorem miary 0, to całka podwójna po $A$ jest równa 0.

przykładowo:

punkt jest miary 0 ponieważ można go pokryć prostokątem o dowolnie małym polu

podstawowe twierdzenie

Jeśli $F:P \to \mathbb{R}$ i zbiór punktów nieciągłości $F$ ma miarę 0, to $F$ jest całkowalna na $P$.

Aby rozpoznać czy brzeg jest miary 0, można posłużyć się następującym twierdzeniem:

Twierdzenie

jeżeli $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest całkowalna, to jej wykres (krzywa) ma miarę 0.

Wniosek:

Jeżeli $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ jest ciągła $\Rightarrow$ jej wykres ma miarę 0.

Na przykłądzie wykresu koła:

brzeg to okrąg
okrąg można traktować jako wykres funkcji
wykres jest ciągły
wykres jest miary 0
funkcja jest całkowalna

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.04.16.md

obliczanie całki podwójnej¶

\[ \iint_P f(x,y)dxdy = \int_a^b \left[\int_c^d f dy\right]dx \]

Obszar normalny

D jest obszarem normalnym względem osi $X$ jeżeli jet opisany w następujący sposób:

\[ x \in \left<a,b\right> y \int \left<\phi_1, \phi_2\right> \]

gdzie $\phi_1, \phi_2$ są są klasy $C^1$.

zmiana zmiennych:

\[\begin{split} \iint_D f(x,y)dxdy \\ x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ \iint_\Delta f(x(u,v),y(u,v)) j(u,v)dudv \end{split}\]

gdzie $j(u,v)$ to jakobian przekształcenia.

\[\begin{split} j(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \end{split}\]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.04.22.md

Całka potrójna¶

Obszar

obszar jest normalny do płąszczyzny jeżeli

\[\begin{split} (x,y) \in D z \in \left<\phi_1 (x,y), \phi_2(x,y)\right> \\ \end{split}\]

całka potrójna

\[ \iiint f(x,y,z) dx dy dz = \iint_D dx dy \int_{\phi_1}^{\phi_2} f(x,y,z) dz \]

Zastosowania całek¶

pole: obszar płąski $D = \iint y_D = \int 1 dx dy$

Objętość bryły $\iiint 1 dx dy dz$

Pole powierzchni

\[\begin{split} P_{ij} = r_{ij} * cos (\phi_{ij}) \\ cos (\phi_{ij}) = (f_x'^2 + f_y'^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \\ P = \iint_D \sqrt{1 + f_x'^2 + f_y'^2+1} dx dy \\ P = \iint_D ||\vec{N}|| dx dy \end{split}\]

Wskazówka

krzywą $f(x)$ obracamy wogół osi $OX$.

środek Ciężkości:

Jeżeli środek ciężkości ma współżędne $\xi, \eta$, to

\[\begin{split} \xi = \frac{1}{|D|} \iint_D x dx dy \\ \eta = \frac{1}{|D|} \iint_D y dx dy \\ \end{split}\]

Informacja

Objętość bryły jest równa polu powierzchni obszaru zakreślającego bryłę pomnożonemu przez drogę jaką przebył środek masy.

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.04.29.md

\[ \psi = \frac{1}{|D|} \iint_D x dx dy \]

Informacja

Przykłąd:

rozważmy pókole (fragment łuku)

\[\begin{split} x = r cos \phi \\ y = r sin \phi \\ \phi \in [0, \pi] \\ {x'}^2 = r^2 sin^2 \phi \\ {y'}^2 = r^2 cos^2 \phi \\ \sqrt{{x'}^2 + {y'}^2} = r \\ \psi = \frac{1}{\pi r} \int_0^\pi r cos \phi r^2 d\phi = 0 \eta = \frac{2r}{\pi} \end{split}\]

Ważne

Pole powierzchni otrzymanej przez obrót łuku ł dookoła prostej e (łuk nie przecina prostej) wynosi długość łuku razy droga przebyta przez środek ciężkości łuku.

Informacja

objętość takiego obszaru jest równe pole tego co się obraca razy droga środka ciężkości

\[\begin{split} 4 \pi r^2 = 2 \pi \eta \pi r \\ 2 r = \eta \pi \\ \eta = \frac{2r}{\pi} \\ \end{split}\]

Całki Krzywoliniowe¶

Całka krzywoliniowa nieskierowana¶

definicja

jeżeli dla każdego podziału krzywej k suma $\sum f(N_i) \Delta s$ dąży przy średnicy podziału do zera dąży do tej samej liczby niezależnej od punktów podziału e.t.c., to granicę tę nazywamy całką krzywolinią nieskierowaną i oznaczamy $\int_k f(s) ds$

niech

\[\begin{split} x = x(s) \\ y = y(s) \end{split}\]

gdzie $s$ to długość ktrzywej liczona od punktu a

Całka krzywoliniowa skierowana¶

w obszarze pewnej krzywej rozważmy pole wektorowe.

def

jeżeli … granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną z pola $\vec{R}$ wzdłuż krzywej k i oznaczamy $\int_k \vec{R} \cdot d\vec{s}$

\[ \int p(x(t))\frac{dx}{dt} + q(y(t)) \frac{dy}{dt} \]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.04.30.md

\[ \int_{k (a\to b)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = - \int_{k (b\to a)} \vec{F} \cdot d\vec{r} \]

def: Obszar Jednospójny

$D \in \mathbb{R^2}$ nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli brzeg tego obszaru jednego kawałka

tw. Greena

$D$ jest obszarem jednospójnym. Krzywa $k=\partial D$ jest zorientowana dodatnio, wtedy

\[ \int_{k} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy \]

Można sforumować następująće twierdzenia: Pole jest ptencjalne (gradientowe) jeżeli

$\oint_{k} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0 \Leftrightarrow \vec{F}$ jest polem gradientowym
$\int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ nie zależy od drogi, tylko od punktów początkowego i końcowego
$\frac{\partial Q}{\partial X}$ i $\frac{\partial P}{\partial y}$ są ciągłe na $D$

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.05.13.md

Całka powierzchniowa zorientowana¶

Informacja

nie każda powierzchnia ma 2 strony

Zakłądamy, że powierzchnia jest dwutronna

\[ \iint_{+s} f dS = \iint_S f \cdot \vec{n} dS \]

Tw. Gaussa-Ostrogradzkiego

\[ \iint _S F \cdot dr = \iiint_V \nabla \cdot F dV \]

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.05.20.md

pole E nazywamy selenoidalnym, jeżeli $rot G = E$

4 warunki są róœnoważne:

$\iint_S E \cdot dS = 0$ dla dowolnej powierzchni zamkniętej S
$\iint_S E \cdot dS$ zależy tylko od konturu s oraz od orientacji powierzchni S
pole E jest selenoidalne
$div E = 0$

dygresja

solen - $\sigma o\lambda\epsilon\ni$ - rurka $$

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.06.03.md

kryterium sylfwstra (aka kryterium sylwestera)

jeżeli oba wyznaczniki są dodatnie, to w punkcie znajduje się minimum
jeżeli oba wyznaczniki są ujemne, to w punkcie znajduje się maksimum
jeżeli wyznacznik jest dodatni, a drugi ujemny, to punkt jest punktem siodłowym

Informacja

Przykłąd

obszar D: $x \in \left(0, 2 \pi\right) \land y \in \left(0, 2 \pi\right) \land x + y = 2 \pi$ $u(x,y) = \sin x + \sin y - \sin(x+y)$

Etap 1 poszukać punktóœ podejżanych

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} u'_x = \cos x - \cos(x+y) = 0 \\ u'_y = \cos y - \cos(x+y) = 0 \\\end{split}\\\begin{split}P = \left(\frac{2}{3} \pi, \frac{2}{3} \pi \right) \\\end{split}\\\begin{split}u''_{x} = -\sin x + \sin(x+y) \\ u''_{y} = -\sin y + \sin(x+y) \\ u''_{xy} = \cos(x+y) - \cos(x+y) = 0 \\\end{split}\\\begin{split}\begin{bmatrix} u''_{xx} & u''_{xy} \\ u''_{yx} & u''_{yy} \end{bmatrix} \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

ogólnie wychodzi na to że jest maksimum lokalne ponieważ $W_1$ i $W_2$ są ujemne.

etap 2 sprawdzić co się dzieje na brzegu

$y = 0, x \in (0, 2 \pi)$

$u(x) = sin(x) - sin(x) = 0$

\[\begin{split} x = 0, y \in (0, 2 \pi) \\ u(y) = 0 + sin(y) - sin(y) = 0 \end{split}\]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} x \in \left(0, 2\pi\right) \land x + y = 2 \pi \Rightarrow y = 2\pi - x \\\end{split}\\u(x,y) = sin(x) + sin(2 \pi - x) - sin(2 \pi) = sin(x) - sin(x) = 0 \end{aligned}\end{align} \]

wnioski: największa wartość jest w punkcie P, natomiast najmniejsza jest na brzegu (0).

Metoda lagrange’a¶

załużmy, że mamy funkcję $f(x,y)$ oraz ograniczenie $g(x,y) = 0$

wtedy tworzymy funkcję $\Phi(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$

następnie liczymy pochodne cząstkowe $\Phi$ po $x$, $y$ i $\lambda$ i rozwiązujemy układ równań

Notatki z pliku notes/02matematyka2/matematyka2_2024.06.10.md

Forma kwadratowa – przykłąd¶

niech $X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $A = \begin{bmatrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && a_{33} \end{bmatrix}$

\[ f(x_1, x_2, x_3) = X^{T} * A * X = a_11 x_1^2 + a_22 x_2^2 + a_33 x_3^2 + 2 a_12 x_1 x_2 + 2 a_13 x_1 x_3 + 2 a_23 x_2 x_3 \]

szukamy najmniejszej wartośći tej funkcji na sferze jednostkowej $1-x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 = 0$

\[ \begin{align}\begin{aligned} \Phi(x_1, x_2, x_3) = f(x_1, x_2, x_3) + \lambda * g(x_1, x_2, x_3) = a_11 x_1^2 + a_22 x_2^2 + a_33 x_3^2 + 2 a_12 x_1 x_2 + 2 a_13 x_1 x_3 + 2 a_23 x_2 x_3 + \lambda (x_1, x_2, x_3)\\\begin{split}\left\{ \begin{matrix} \frac{\partial \Phi}{\partial x_1} = 2 a_11 x_1 + 2 a_12 x_2 + 2 a_13 x_3 - 2 \lambda x_1 = 0 \\ \frac{\partial \Phi}{\partial x_2} = 2 a_22 x_2 + 2 a_12 x_1 + 2 a_23 x_3 - 2 \lambda x_2 = 0 \\ \frac{\partial \Phi}{\partial x_3} = 2 a_33 x_3 + 2 a_13 x_1 + 2 a_23 x_2 - 2 \lambda x_3 = 0 \\ g(x_1, x_2, x_3) = 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2 * A * X - 2 \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \lambda X = 0 \\ g(x_1, x_2, x_3) = 0 \\ \end{matrix} \right. = \end{split}\\\begin{split}\left\{ \begin{matrix} A * X - \lambda X = 0 \\ g(x_1, x_2, x_3) = 0 \\ \end{matrix} \right. = \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

twierdzenie

Jeżeli szukamy najmniejszej i największej wartośći funkcji $f(x_1, x_2, x_3) = X^T A X$ na sferze jednostkowej, to punkty podejrzane to wektory własne macierzy $A - Z* \lambda$

Ważne

Podsumowanie wykłądu

$\Gamma$ euler’a
funkcje wielu zmiennych, różniczkowalność e.t.c. (analogicznie jak dla 1 zmiennej)
pojęcie ciąŋłości (tw. Darbou)
funkcje z $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ciągłość, granice)
różniczkowanie fcji wielu zmiennych; pochodne cząstkowe; różniczka $df = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}$
ekstrema fcji wielu zmiennych (forma kwadratowa, tw. La’grange’a)
całki (podwójne, potrójne, krzywoliniowe, powierzchniowe, objętościowe, zorientowane, niezorientowane, tw. Stokes’a, tw. Green’a, tw. Gauss’a-Ostrogradskiego, tw. o polu bezźródłowym)
zadania typu oblicz objętość/ppowierzchnię
Reguły GULDINA $\leftarrow$ przypadkiem zawsze się pojawiają na egzaminie…

Matematyka 2¶

Całka powierzchniowa niezorientowana¶

Całki dla przeciałów nieskończonych¶

Całki funkcji nieskończonych¶

Szczególne przypadki całek na przedziałach nieograniczonych¶

Kryteria porównawcze¶

Szeregi¶

Funkcja Gamma Eulera¶

Własnośći¶

Funkcja \(\beta\)¶

Równania Różniczkowe¶

Przykłąd 1¶

Przykład 2¶

Przykłąd 3¶

Przyład 4¶

Równania Różniczkowe o zmiennych rozdzielonych¶

Równania liniowe¶

Równania liniowe 1 rzędu¶

Metoda Uzmienniania stałej:¶

Metoda Przewidywania¶

Równania II liniowe rzędu¶

Funkcje wielu zmiennych¶

\(I \to \mathbb{R}^n\)¶

\(f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}\)¶

Pochodne cząstkowe¶

Pojęcie różniczkowalności¶

Pochodna funkcji złożonych¶

Pochodna kierunkowa¶

Funkcje uwikłane¶

płaszczyzna styczna¶

Rachunek całkowy wielu zmiennych¶

Całka podwójna¶

Całka podwójna nie dla prostokąta¶

obliczanie całki podwójnej¶

Całka potrójna¶

Zastosowania całek¶

Całki Krzywoliniowe¶

Całka krzywoliniowa nieskierowana¶

Całka krzywoliniowa skierowana¶

Całka powierzchniowa zorientowana¶

Metoda lagrange’a¶

Forma kwadratowa – przykłąd¶