Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.09.md

Matematyka 1

Iloczyn kartezjański:

A×B={(a,b)aAbB}

iloczyn kartezjański R2 przedstawiamy jako płaszczyznę (x,y) a pojedynczą pare przedstawiamy jako punkt

Funkcja

f:AB - każdemu elementowi ze zbiour A jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B

  • A - dziedzina funkcji

  • f(a) to zbiór wartości

własności funkcji

  • funkcję f nazywamy iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) jeżeli a1,a2A f(a1)f(a2)

  • funkcję f nazywamy surjekcją (odwzorowaniem na) jeżeli bbainA f(a)=b

  • f jest bijekcją f jest injekcją oraz surjekcją

jeżeli surjekcja równanie ma rozwiązanie y jeżeli injekcja równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie

jeżeli f jest bijekcją, wtedy istnieje funkcja odwrotna f1:BA f1(y)=xf(x)=y

badanie własności fnkcji

  • jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w 2 lub więcje punktach to funkcja ta nie jest injekcją

  • jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w dokłądnie w 0 punktach to funkcja ta nie jest surjekcją

Ważne

prosta musi należeć do zW

Ważne

wykres funkcji f1 jest symetryczny do wykresu f względem prostej y=x

niech f(x)=sin(x) niech x(π2,π2)y[1,1] tak zdefiniowana funkcja jest bijekcją f1

sin1(x)=arcsin(x)

składanie funkcji

f:ABg:BCh(x)=g(f(x))h=gf

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.15.md

Ciągi

Zbierzność asymptotyczna anbn1

wzór Sterlinga

$n! ~ n^n - e^{-n} \sqrt{2 \pi n}

ważne granice

limx0sin(x)x=1
dla a>1limx0ax=1nN a1n+1<ax<a1n
limh0ah1h=logn a

Funkcje ciągłe

niech f:DR

f jest ciągła w punkcie x0D jeśli limxx0=f(x0)

Ważne

funkcja f(x)=1x x0 jest ciągła, mimo, że w x0=0 granica nie istnieje, ponieważ x0D

Wskazówka

f(x)=sin1x

Własności funkcji ciągłych

Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku

niech f ciągła. Dla dowolnego punktu x0f(x0)>0a=(x0ϵ,x0+ϵ)taki żexaa f(xa)>0

Wskazówka

jeżeli f jest ciągła oraz a,b f(a)<0f(b)>0x0(a,b) f(x0)=0

Twierdzenie Bezuta

jeżeli x0 jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian W(x) można przedstawić jako W(x)=(xx0)P(x)

własoność Garbouta

własnność o przyjmowaniu wartościpośrednich

dla f:IR Jeżeli f(a) = m i f(b) = M m<Mm<W<M

W(m,M)x(a,b) f(x)=W


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.23.md

Twierdzenie o osiąganiu kresów

Jeżeli funkcja fa,bR jest ciągła, to:

  • jest ograniczona

  • oraz x1x2(a,b) f(x1)=mf(x2)=M gdzie m to kres dolny a M to kres górny

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej

niech funkcja fa,bR będzie ciągła

f(a)=cf(b)=df(a)<f(b)

wtedy

  • f jest ściśle rosnąca f ma funkcję odwrotną

  • jeśli istnieje funkcja odwrotna, to jest ona również ciągła

Wskazówka

Funkcja ściśle rosnąca to taka, dla którje prawdziwe jest twierdzenie x1<x2f(x1)<f(x2)

Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej

Niec f:DR i g:DR będzie ciągła wtedy h=fg˙ - h jest ciągła

Twierdzenie o 4 działaniach dla funkcji ciągłych

f,g:DR, jeżeli f, g ciągłe w D f+gfgfg są ciągłe. Ponadto jeżeli g0fg są również ciągłe

Przykłady funkcji ciągłych

  • f(x)const

  • f(x)=x

  • f(x)=cx

  • f(x)=c1x+c2

  • f(x)=x2

Informacja

Wielomiany są funkcjami ciągłymi

  • xn (funkcja odwrotna do xn)

  • f(x)=ax a>0a1


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.24.md

cosh(x)=ex+ex2sinh(x)=exex2tgh(x)=exexex+ex

Interpretacja krzywej

Opis parametryczny krzywej:

  • Okrąg

{x=rsin(t)y=rcos(t)
  • Elipsa

{x=acos(t)y=bsin(t)
  • Hiperbola

{x=acosh(t)y=bsinh(t)

Informacja

arsinh(x)=logn(x+1+x)

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.30.md

Różniczkowanie

Niech y=f(x)=ax wtedy dla x=1 y=aa=tgα

Informacja

podejście geometryczne:
Spróbujmy znaleźć wykres stycznej do wykresu funkcji $f(x)

Sieczna - prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty należące do wykresu funkcji f(x)

yy0=f(x)f(x0)xx0(xx0) - równanie siecznej przechodzącej przez x i x0

Definicja pochodnej

granicę limxx0f(x)f(x0)xx0 o ile istnieje nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczymy f(x0) lub dfdx

Ważne

Interpretacja geometryczna
f(x0) to tg kąta nachylenia stycznej do fykresu funkcji f w punkcie x0

f:IR jeżeli xinIf(x)f:XR

Przykłady funkcji pochodnych

f(x)

f(x)

f(x)=a

f(x)=0

y=ax+b

a(x+h)+b(ax+b)h=a

y=ax2

(x+h)2x2h=x+h dla h0f(x)=2x

y=x

f(x+h)f(x)h=x+hxh(x+h+x)12x

y=xn

f(x+h)f(x)h=(x+h)nxnh=nxn1

y=sin(x) więcej

y=cos(x)

y=arctg(x)

1x2+1

Zaawansowany Kalkulator Pochodnych

Przykłady funkcji, które nie mają pochodnych

f(x)=|x|f(0)=f(0+h)f(0)h=|h|hDla h<0f(0)1dla h>0f(0)1

Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli f jest różnniczkowalna, to f jest ciągła

f(x0+h)=f(x0+h)f(x)+f(x)=f(x+h)f(x)hh+f(x)==0+f(x)

Działania na pochodnych

Twierdzenie o różniczkowalności złożeń funkcji różniczkowalnych

Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne, to funkcje f+g oraz cg są różniczkowalne i zachodzą następujące wzory

(f+g)=f+g(cg)=cg

Wskazówka

Nie jest prawdą stwierdzenie, że “suma pochodnych jest pochodną sumy”. prawdą jest, że “suma pochodnych jest pochodną sumy Przy stosownych założeniach”.

Wskazówka

f(x)=ax+b nie jest operacją liniową, ponieważ f(x1+x2)ax1+b+ax2+b

Pochodne funkcji trygonometrycznych

y=sin(x)y=sin(x+h)sin(x)hy=sinxcosh+cosxsinhsinxh=2sinx(cosh1h)=cosx

Pochodna funkcji wykładniczej

(ax)=axahaxh=axah1h==lognaax(ex)=logn eex=ex

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.31.md

pochodna iloczynu

Jeżeli f, g są różniczkowalne (fg)=fg+fg

pochodna ilorazu

jeżeli f i g są różniczkowalne i g0 wtedy fg=fgfgg2

tg(x)=(sin(x)cos(x))=1cos2(x)ctg(x)=(cos(x)sin(x))=1sin2(x)

twierdzenie

jeżeli f1f wtedy dydx=(dxdy)1

arctg(x)=1arctg(x)(logax)=1lna1x

pochodna złożenia funkcji

złożenie możliwe f i g są różniczkowalne, wtedy g(f(x)) też jest różniczkowalna i dhdx=dzdydydx

Pochodna logarytmiczna

jeżeli f jest różniczkowalna i f>0

ln(f(x))=f(x)f(x)

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.06.md

f(x)={x2 , xQ0 , xRQ

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x=0 (h2h0)

Zastosowanie pochodnych

Maksimum lokalne

f:IRI=(a,b)δx0(x0δ,x0+δ)f(x)f(x0)

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnych w maksimum lokalnym

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i ma w punkcie x0 maksimum lokalne f(x0)=0

R=f(x)f(x0)xx0dla x0>xxx0f(x)f(x0)0xx00R<0dla x0>xxx0f(x)f(x0)0xx00R>0R0RR=0

Informacja

jeżeli f jest ciągła i różniczkowalna

f:IRI=(a,b)jeżeli f(a)=f(b) cI, f(c)=0

Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej

  • f jest ciągła

  • f jest różniczkowalna

c(a,b)f(c)=f(a)f(b)ab

Twierdzenie Coushy’ego

  • f, g, są ciągłe $\in \left[a, b\right]

  • f, g, są różniczkowalne

  • g0(a,b)

wtedy:

c(a,b)f(c)g(c)=f(b)f(a)g(b)g(a)

Wskazówka

g(a)g(b) ponieważ g jest różniczkowalna  g(b)g(a)0


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.07.md

Wnioski Tw. Lagrange’a

Ważne

funkcja f:IR jest różniczkowalna

  • jeżeli f0fconst

  • jeżeli f0 f jest niemalejąca

  • jeżeli f0 f jest nierosnąca

Twierdzenie AGH

x0x12x+12a,b>0A=a+b2G=abx=abab12ab+12bab12a+12bGA1H=1a+1b2AGH

Reguła de l’Hospitala

Reguła de l’Hospitala

f, g to funkcje różniczkowalne.

jeżeli limxafg=00jeżelilimxaf(x)g(x)=Glimxaf(x)g(x)=G

Wskazówka

limx0sin(x)xlimx0(sin(x))xlimx0cos(x)1=1limx0sin(x)x=1

Informacja

  • f jest niższego rzędu (niż g) gdy fg0

  • f i g są równego rzędu gdy fgconst0

  • jeżeli fg1, to f i gasymptotycznie równoważne


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.13.md

Pojęcie Różniczki

Jeżeli f jest różniczkowalna

f(x+h)f(x)hf(x)f(x+h)f(x)hf(x)0f(x+h)f(x)f(x)hh0f(x+h)f(x)f(x0)h=o(h)Δyf(x0)h=o(h)Δy=f(x0)Δx+o(Δx)

Informacja

Odwzorowanie liniowe hf(x0)h nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x0.

Jest to odwzorowanie takie, że f(x0+h)f(x0)=f(x0)h+o(h)

Oznaczenia

f

pochodna

f

f

dfdx

f

f

d2fdx2

Definicja

Funkcję nazywamy funkcją klasy Ck jeżeli ma pochodne do rzędu k i kta pochodna jest ciągła.

Wzór Taylora

F:IR  "fklasy"C1tw. lagrange'a dla przedziału(x0,x0+h)f(x0+h)f(x0)=f(ψ)hf(x0+h)=f(x0)+f(ψ)hψ(x0,x0+h)ψ=x0+θhθ0,1
Niche f będzie klasy Cnψ f(x0+h)=f(x0)+h1!f(x0)+h2!f(x0)+...+hn!f(n)(ψ)

Ostatnie równanie nazywamy Równaniem Taylora z resztą Lagrange’a

Wzór Maclaurina

f(x)=f(0)+xf(0)+x22!f(0)+...+xnn!f(n)(θx)

f(x)

Rozwinięcie

ex

1+x+x22!+x33!+...+xnn!eθx

sin(x)

xx33!+x55!x77!+...+Rn

cos(x)

1x22!+x44!x66!+...+Rn

ln(1+x)

0+xx2+x33x44+x55+...+Rn=(Σi=1n(1)n+1xnn)+Rn

(x+1)α

1+(α1)x+(α2)x22!+(α3)x33!+...+Rn

Ważne

(αk)=α(α1)(alpha2)...(αk)k!

Wskazówka

Zastosowanie wzoru Taylora do obliczeń przybliżonych:

dla x = 1, n = 6

e=1+1+12+16+124+1120+1720eθ0θ1e1+1+12+16+124+1120

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.14.md

Twierdzenie

Liczba e nie jest liczbą wymierną.

Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną w postacipqp,qNe=1+1+12+13!+...+1q!+1(q+1)!eθ

e jest liczbą przestępną (nie jest pierwiastkiem wiielomianu o współczynnikah rzeczywistych)

Reszta Peano
f(x+h)=f(x0)+h1!f(x)+h22!f(x0)+...+hnn!f(n)(x0)+o(hn)

Ekstrema lokalne

Informacja

Jeżeli funkcja osiąga w punkcie x0 extremum, ot jej pochodna jest równa 0

Ostrzeżenie

nie oznacza to, że spełnione jest twierdzenie odwrotne

Jeżeli pochodna funkcji zeruje się, oznacza to, że punkt x0 jest punktem podejrzanym oe ekstremum.

Punkty podejrzane o ekstrenum znajdują się również w punktach, w których pochodna nie istnieje.

Szukanie ekstremów:

  • pochodna musi zmieniać znak

  • jeśli f(x0)f(x0)>0 f posiada minimum lokalne$

  • druga pochodna wskazuje czy dany punkt to minimum czy maksimum


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.20.md

Zadania

Informacja

Z kwadratoweo arkusza blachy wycinamy 4 kwadratowe kawałki (na rogach). Z czego powstaje nam “pudełko”. Jaka największa objętość?

0<x<a2V(x)=(a2x)2x

szukamy największą wartość funkcji w przedziale x0,a2

V(x)=(a2x)24x(a2x)V(x)=(a2x)(a2x4x)V(x)=(a2x)(a6x)x=a2x=a6

Informacja

O(h)=Csinα1r2ar=cosαO(h)=Csinαcos2αa2O(h)=Ca2sinαcos2αf(x)=sinxcos2xx0,π2)f(x)=cos3x2sin2xcosxf(x)=cosx(cos2x2sin2x)x=π2tg2x=12tgx=12tg > 0 w przedzialex=arctg12

Wypukłość funkcji

f jest wypukłą ku górze jeśli w pewnym otoczeniu wykres f jest poniżej wykresu stycznej.

Funkcja jest wypukła ku dołowi w punkcie x0 jeżeli w tm punkcie wykres jest powyżej wykresu stycznej

Twierdzenie o wypukłości

f klasy C2

Jeżeli f wypukła ku górze f(x0)0 Jeśli f(x0)<0 funkcja jest wypukła ku górze.

Asymptoty

Asymptoty to proste, do których wykres danej funkcji zbliża się dowolnie blisko.

Wskazówka

Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną, jeśli f(x)axb0 dla x

Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną funkcji f limxf(x)x=a limxf(x)ax=b


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.21.md

Sporządzanie wykresów funkcji

  • faza I:

    • “Dziedzina” funkcji

    • granice na krańcach (e.g. w ,)

    • punkty charakterystyczne typu f(0)

    • szczególne własności funkcji (np. f jest parzysta f(x)=f(x))

    • okresowość

  • szkic wykresu

  • poprawki na wykresie

    • obliczanie pochodnej funkcji (ekstrema, przegięcia, monotoniczność)

    • obliczanie drugiej pochodnej (badanie wypukłości, asymptoty ukośne)


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.04.md

Rachunek Całkowy

Kalkulator Całek

definicja całki

f to funkcja określona na przedziale otwartym

jeżeli F na tym samym przedziale ma pochodną i F(x)=f(x) funkcję F nazywamy funkcją pierwotną f lub całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy f(x)dx

Twierdzenie o stałej całkowania

Jeżeli F jest funkcją pierwotną f, to F+C róœnież jest pierwotną funkcji f$

f(x)dx to rodzina funkcji. Funkcja pierwotna jest określona z dokładnością do stałej. $$

Metody obliczania całek

Zgadywanie

f(x)

f(x)dx

0

const

C

Cx

x2

12x2

xα

1α+1xα+1 α1

1x

$ln(

cos(x)

sin(x)

sin(x)

cos(x)

ctg(x)

$ln(

tg(x)

$-ln(

1cos2(x)

tg(x)

1sin2(x)

ctg(x)$

ex

ex

ex

ex

11+x2

arctg(x)

cosh(x)

sinh(x)

sinh(x)

cosh(x)

11x2

arcsin(x)

1x2+a

ln(x+x2+a)

Liniowość*

Jeśli f i g mają funkcje pierwotne f+g oraz cf też mają funkcje pierwotne oraz f+g=f+g natomiast cf=cf.

Ważne

Operacja całkowania nie jest liniowa, ponieważ wystęþuje translacja o stałą

Ważne

niech f(x)0

f(x)f(x)dx=ln(f(x))

Informacja

x1+x2dx=122x1+x2dx==12ln(1+x2)+Cctg(x)dx=cos(x)sin(x)dx=ln(sin(x))+Ctg(x)dx=sin(x)cos(x)dx==sin(x)cos(x)dx=ln(|cos(x)|)+C

przez części

fg=fg+fgfg=fgfg

Informacja

xex=x(ex)=xexex=xexexxex=(x22)ex=x22ex(x22ex)ln(x)=1ln(x)=(x)ln(x)=xln(x)x1x=xln(x)x

Ostrzeżenie

EGZAMIN Z ANALIZY

  • Czas trwania: 90 min

  • 1 termin na początku sesji

  • 4 zadania (3 zadania-zadania + 1 teoria).

  • Zadania klasyczne


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.11.md

Przez podstawienie

Podstawienie

Niech G(y) będzie funkcją pierwotną funkcji g(y) a f(x) będzie klasy C1. Wtedy $\int g(y)dy |_{y = f(x)} = \int g(y) f’(x) dx

Wskazówka

1x2dxx=sintdx=costdt1sin2tcostdt==cos2(t)dt=122cos2tdt==121+cos(2t)dt==12(t+12sin(2t))=12arcsin(x)+12x1x2
In=1(1+x2)nI1=arctg(x)In=1+x2x21+x2dx=dx(1+x2)nx2(1+x2)ndx==In1x2(1+x2)nIn=12n2x(1+x2)n1+2n32n2In1

Całki funkcji wymiernych

P(x)Q(x)=?

Należy znaleźć rozkład funkcji na ułamki proste:

f(x)

f(x)dx

AxA

$ln(x-A)

A(xA)k

1x1....

  • CxB(xp)2+q2

  • CxB((xp)2+q2)k


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.18.md

Całkowanie ułamków prostych
Ax+B((xp)2+q)k

Wskazówka

x+3((x2)2+5)2y=(x2)2+5dy=2(x2)dx2(x2)2(x2)+x+3((x2)2+5)2

Informacja

Rozkładanie na ułamki proste

1(x1)(x+2)=Ax1+Bx+21=A(x+2)+B(x1)1=Ax+2A+BxB{A+B=02AB=1A=B=13

Całkowanie Funkcji typu R(cos(x),sin(x))

Metoda: Podstawienie t=tgx2

sin(x)=2sin(x2)cos(x2)=2tgx21+tg2x2cos(x)=1t21+t2tg(x)=2t1+tdt=211+t2dt

Całki z pierwiastkiem

1x2dxx=sin(t)dx=cos(t)1sin2(t)cos(t)dtcos2(t)dt1+x2dxx=sinh(t)

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.08.md

Całka Oznaczona (Rimana)

Podzielmy przedział (a,b) na n części, w taki sposób.

Δxi=|XiXi1|δn=max(Δx)sn=ΣiniΔxicn=Σiψ(i)ΔxiSn=ΣiMΔxi
  • ni to infinum funkcji w danym przedziale (najmniejsza wartość)

  • M to supremum funckji w danym przedziale (czyli mnożenie przez największą wartość funkcji w przedziale)

Wskazówka

sn reprezentuje sumę wszystkich prostokątów w zaokrągleniu pod wykresem, natomiast Sn - wszystkich kawałkóœ zaokrąglonych do maksymalnej wartości

definicja całki oznaczonej

Jeżeli suma σn przy dowolnym coraz róœniejszym podziale (tzn. przy σn0) dąży do tej samej granicy niezależnie od wyboru punktóœ podziału ani od wyboru od wyboru punktów ψi to granicę tę nazywamy Całką Oznaczoną z funkcji f w przedziale a,b (tzw. całka Rimmana)

Oznaczenia:

abf(x)dx=a,bf

Całka nie zawsze istnieje.

Całka absn=Sn

Wskazówka

f jest jednostajnie ciągła, ϵ>0,δ>0 że jeżeli |xx|<δf(x)f(x)<ϵ

ϵ>0 i f jednostajnie ciągła, xx<ϵf(x)f(x)<δ

Snsn=Σixi(Mm)<=ϵΣixi=ϵ(ab)

Własności całki Rimmana

  • spełnia zasadę liniowości (rozdzielność względem dodawania oraz mnożenia przez skalar)

  • addytywność względem przedziału - jeżeli ca,b to abf=acf+cbf

  • m(ba)abM(ba)

  • twierdzenie o wartośći średniej dla całęk (jeżeli f ciągła) ψa,b 1baabf=f(ψ)


Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.15.md

Zastosowania całek

Pole pod wykresem

Jeżeli funkcja jest całkowalna, to pole pomiędzy prostymi a i b wynosi abf(x)dx.

Informacja

całka to nie jest pole. (e.g. 0π2sin x dx=0)

pole elipsy

x2A2+y2B2=1y=+BAA2x2P=40aBAA2x2=πAB

###4 Obliczanie długości krzywej

l=Σi(ϕ(ti)ϕ(ti1))2+(ψ(ti)ψ(ti1))2==ΔtiΣiϕ(ui)2+ψ(ζi)2αβϕ2+ψ2dt

Twierdzenie

γ=αβϕ2+ψ2dt

jeżeli krzywa jest opisana równaniem

γ=ab1+f(x)2dx

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.22.md

Krzywe Stożkowe

Te krzywe powstają poprzezs przecięcie stożka płaszczyzną.

  • okrąg

  • elipsa x2a2+y2b2=1. Mimośrodem elpisy nazywamy parametr e=ca<1 (c to odległość ognisk od środka elipsy)

  • hiperbola x2a2y2b2=1 ||PF1||PF2||=2a

  • parabola: Załóżmy ognisko F i prostą k nieprzechodzącą przez ten punkt. Prostą nazywamy kierownicą. |PF|=odl(P,k)y2=2px

Ogólen róœnanie krzywych stożkowych: $\rho = \frac{p}{1+e*cos\phi}