---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.09.md

Matematyka 1

Iloczyn kartezjański:

\(A \times B = \begin{Bmatrix} (a, b) & \begin{matrix} a \in A \\ b \in B \end{matrix} \end{Bmatrix}\)

iloczyn kartezjański \(\mathbb{R}^2\) przedstawiamy jako płaszczyznę (x,y) a pojedynczą pare przedstawiamy jako punkt

Funkcja

\(f: A \rightarrow B\) - każdemu elementowi ze zbiour A jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B

• A - dziedzina funkcji

• \(f(a)\) to zbiór wartości

własności funkcji

• funkcję \(f\) nazywamy iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) jeżeli \(\forall a_1, a_2 \in A ~ f(a_1) \neq f(a_2)\)

• funkcję f nazywamy surjekcją (odwzorowaniem na) jeżeli \(\forall b \in b \exists a in A ~ f(a) = b\)

• f jest bijekcją \(\Leftrightarrow\) f jest injekcją oraz surjekcją

jeżeli surjekcja \(\Leftrightarrow\) równanie ma rozwiązanie \(\forall y\) jeżeli injekcja \(\Leftrightarrow\) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie

jeżeli f jest bijekcją, wtedy istnieje funkcja odwrotna \(f^{-1}: B \rightarrow A ~ f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y\)

badanie własności fnkcji

• jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w 2 lub więcje punktach to funkcja ta nie jest injekcją

• jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w dokłądnie w 0 punktach to funkcja ta nie jest surjekcją

Ważne

prosta musi należeć do zW

Ważne

wykres funkcji \(f^{-1}\) jest symetryczny do wykresu \(f\) względem prostej \(y = x\)

niech \(f(x) = sin(x)\) niech \(x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \land y \in [-1, 1]\) tak zdefiniowana funkcja jest bijekcją \(\Rightarrow \exists f^{-1}\)

\(\bf{sin^{-1}(x) = arcsin(x)}\)

składanie funkcji

\[\begin{split} f : A &\Rightarrow B\\ g : B &\Rightarrow C\\ h(x) &= g(f(x))\\ h &= g \cdot f\\ \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.15.md

Ciągi

Zbierzność asymptotyczna \(\frac{a_n}{b_n} \to 1\)

wzór Sterlinga

$n! ~ n^n - e^{-n} \sqrt{2 \pi n}

ważne granice

\[\begin{split} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \\ \end{split}\]

\[\begin{split} dla~a > 1\\ lim_{x \to 0} a^x = 1\\ \forall n \in \mathbb{N} ~a^{\frac{1}{n+1}} < a^x < a^{\frac{1}{n}} \end{split}\]

\[\begin{split} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = logn~a \\ \end{split}\]

Funkcje ciągłe

\[ niech~f: D \rightarrow \mathbb{R} \]

f jest ciągła w punkcie \(x_0 \in D\) jeśli \(\exists \lim_{x \to x_0} = f(x_0)\)

Ważne

funkcja \(f(x) = \frac{1}{x} ~ x \neq 0\) jest ciągła, mimo, że w \(x_0 = 0\) granica nie istnieje, ponieważ \(x_0 \notin D\)

Wskazówka

\(f(x) = sin \frac{1}{x}\)

Własności funkcji ciągłych

Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku

niech f ciągła. Dla dowolnego punktu \(x_0 \land f(x_0) > 0 \Rightarrow \exists a = \left(x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon \right) taki~że \forall x_a \in a~ f(x_a) > 0\)

Wskazówka

jeżeli f jest ciągła oraz \(\exists a, b ~ f(a) < 0 \land f(b) > 0 \Rightarrow \exists x_0 \in (a, b) ~ f(x_0) = 0\)

Twierdzenie Bezuta

jeżeli \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian \(W(x)\) można przedstawić jako \(W(x) = (x - x_0)P(x)\)

własoność Garbouta

własnność o przyjmowaniu wartościpośrednich

dla \(f: I \to \mathbb{R}\) Jeżeli f(a) = m i f(b) = M \(\land m < M \land m < W < M\)

\(\bf{\forall W \in (m, M) \exists x \in (a, b)~f(x) = W}\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.23.md

Twierdzenie o osiąganiu kresów

Jeżeli funkcja \(f\left<a, b \right> \to \mathbb{R}\) jest ciągła, to:

• jest ograniczona

• oraz \(\exists x_1 x_2 \in (a, b) ~ f(x_1) = m \land f(x_2) = M\) gdzie m to kres dolny a M to kres górny

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej

niech funkcja \(f\left<a, b \right> \to \mathbb{R}\) będzie ciągła

\[\begin{split} f(a) = c \\ f(b) = d \\ f(a) < f(b) \end{split}\]

wtedy

• f jest ściśle rosnąca \(\Leftrightarrow\) f ma funkcję odwrotną

• jeśli istnieje funkcja odwrotna, to jest ona również ciągła

Wskazówka

Funkcja ściśle rosnąca to taka, dla którje prawdziwe jest twierdzenie \(\forall x_1 < x_2 f(x_1)<f(x_2)\)

Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej

Niec \(f:D \to \mathbb{R}\) i \(g:D \to \mathbb{R}\) będzie ciągła wtedy \(h = f \dot g\) - h jest ciągła

Twierdzenie o 4 działaniach dla funkcji ciągłych

\(f, g : D \to \mathbb{R}\), jeżeli f, g ciągłe w D \(f+g \land f-g \land f*g\) są ciągłe. Ponadto jeżeli \(g \neq 0 \Rightarrow \frac{f}{g}\) są również ciągłe

Przykłady funkcji ciągłych

• \(f(x) \equiv const\)

• \(f(x) = x\)

• \(f(x) = c * x\)

• \(f(x) = c_1 * x + c_2\)

• \(f(x) = x^2\)

Informacja

Wielomiany są funkcjami ciągłymi

• \(\root{n} \of {x}\) (funkcja odwrotna do \(x^n\))

• \(f(x) = a^x~a > 0 \land a \neq 1\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.24.md

\[ cosh (x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} sinh (x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} tgh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \]

Interpretacja krzywej

Opis parametryczny krzywej:

• Okrąg

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x = r sin(t) \\ y = r cos(t) \end{matrix}\right. \end{split}\]

• Elipsa

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x = a cos(t) \\ y = b sin(t) \end{matrix}\right. \end{split}\]

• Hiperbola

\[\begin{split} \left\{\begin{matrix} x = a cosh(t) \\ y = b sinh(t) \end{matrix}\right. \end{split}\]

Informacja

\[ arsinh (x) = logn \left(x + \sqrt{1+x}\right) \]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.30.md

Różniczkowanie

Niech \(y = f(x) = a * x\) wtedy dla \(x = 1~y = a \Rightarrow a = tg \alpha\)

Informacja

podejście geometryczne:
Spróbujmy znaleźć wykres stycznej do wykresu funkcji $f(x)

Sieczna - prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty należące do wykresu funkcji \(f(x)\)

\(y-y_0 = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\) - równanie siecznej przechodzącej przez \(x\) i \(x_0\)

Definicja pochodnej

granicę \(lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) o ile istnieje nazywamy pochodną funkcji f w punkcie \(x_0\) i oznaczymy \(f'(x_0)\) lub \(\frac{df}{dx}\)

Ważne

Interpretacja geometryczna
\(f'(x_0)\) to \(tg\) kąta nachylenia stycznej do fykresu funkcji f w punkcie \(x_0\)

\(f: I \to \mathbb{R}\) jeżeli \(\forall x in I \exists f'(x)\quad f' : X \to \mathbb{R}\)

Przykłady funkcji pochodnych

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(f(x) = a\)	\(f'(x) = 0\)
\(y = ax + b\)	\(\frac{a(x+h) + b - (ax + b)}{h} = a\)
\(y = ax^2\)	\(\frac{(x+h)^2-x^2}{h} = x+h ~ dla~h\to0 \quad f'(x) = 2x\)
\(y = \sqrt{x}\)	\(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \to \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
\(y = x^n\)	\(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} =\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = n * x^{n-1}\)
\(y = sin(x)\) więcej	\(y' = cos(x)\)
\(y = arctg(x)\)	\(\frac{1}{x^2+1}\)

Zaawansowany Kalkulator Pochodnych

Przykłady funkcji, które nie mają pochodnych

\[\begin{split} f(x) = |x| \\ f'(0) = \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} \\ Dla~h < 0\quad f'(0) \to -1 \land dla~h>0\quad f'(0) \to 1 \end{split}\]

Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli f jest różnniczkowalna, to f jest ciągła

\[\begin{split} f(x_0 + h) = f(x_0+h)-f(x)+f(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} * h + f(x) = \\ = 0 + f(x) \end{split}\]

Działania na pochodnych

Twierdzenie o różniczkowalności złożeń funkcji różniczkowalnych

Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne, to funkcje \(f+g\) oraz \(c*g\) są różniczkowalne i zachodzą następujące wzory

\[\begin{split} (f+g)' = f' + g' \\ (c*g)' = c * g' \end{split}\]

Wskazówka

Nie jest prawdą stwierdzenie, że “suma pochodnych jest pochodną sumy”. prawdą jest, że “suma pochodnych jest pochodną sumy Przy stosownych założeniach”.

Wskazówka

\(f(x) = ax + b\) nie jest operacją liniową, ponieważ \(f(x_1+x_2) \neq ax_1 + b + ax_2 + b\)

Pochodne funkcji trygonometrycznych

\[\begin{split} y = sin(x) \\ y' = \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h} \\ y' = \frac{sin x* cos h + cos x * sin h - sin x }{h} = \frac{2sin x (cos h - 1}{h}) = cos x \\ \end{split}\]

Pochodna funkcji wykładniczej

\[\begin{split} (a^x)' = \frac{a^x a^h - a^x}{h} = a^x \frac{a^h-1}{h} = = logn a * a^x \\ \\ (e^x)' = logn~e * e^x = e^x \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.31.md

pochodna iloczynu

Jeżeli f, g są różniczkowalne \((f * g)' = f'g + fg'\)

pochodna ilorazu

jeżeli f i g są różniczkowalne i \(g \neq 0\) wtedy \(\frac{f}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}\)

\[\begin{split} tg' (x) = \left(\frac{sin(x)}{cos(x)}\right)' = \frac{1}{cos^2(x)} \\ ctg' (x) = \left(\frac{cos(x)}{sin(x)}\right)' = \frac{-1}{sin^2(x)} \end{split}\]

twierdzenie

jeżeli \(\exists f^{-1} \land \exists f'\) wtedy \(\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1}\)

\[\begin{split} arctg'(x) = \frac{1}{arctg(x)} \\ (log_a x)' = \frac{1}{ln a} * \frac{1}{x} \\ \end{split}\]

pochodna złożenia funkcji

złożenie możliwe \(\Leftrightarrow\) f i g są różniczkowalne, wtedy \(g(f(x))\) też jest różniczkowalna i \(\frac{dh}{dx} = \frac{dz}{dy} * \frac{dy}{dx}\)

Pochodna logarytmiczna

jeżeli f jest różniczkowalna i \(f > 0\)

\[ ln(f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)} \]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.06.md

\[\begin{split} f(x) = \left\{\begin{matrix} x^2~,~x\in \mathbb{Q} \\ 0~,~x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{matrix}\right. \end{split}\]

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x=0 (\(\frac{h^2}{h} \to 0\))

Zastosowanie pochodnych

Maksimum lokalne

\[\begin{split} f : I \to \mathbb{R} \quad I = \left(a,b\right) \\ \exists \delta \quad x_0 \in \left(x_0 - \delta, x_0 + \delta \right) \\ f(x) \leq f(x_0) \end{split}\]

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnych w maksimum lokalnym

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i ma w punkcie \(x_0\) maksimum lokalne \(\Leftrightarrow f'(x_0) = 0\)

\[\begin{split} R = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ dla~x_0 > x \land x \to x_0 \\ f(x) - f(x_0) \leq 0 \land x-x_0 \geq 0 \Rightarrow R < 0 \\ dla~x_0 > x \land x \to x_0 \\ f(x) - f(x_0) \leq 0 \land x-x_0 \leq 0 \Rightarrow R > 0 \\ R \leq 0 \geq R \Rightarrow R = 0 \\ \end{split}\]

Informacja

jeżeli f jest ciągła i różniczkowalna

\[\begin{split} f : I \to \mathbb{R} \quad I = \left(a, b\right) \\ jeżeli~f(a) = f(b) \\ \exists~c \in I ,~ f'(c) = 0 \end{split}\]

Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej

• f jest ciągła

• f jest różniczkowalna

\[\begin{split} \exists c \in \left(a, b\right) \\ f'(c) = \frac{f(a) - f(b)}{a-b} \end{split}\]

Twierdzenie Coushy’ego

• f, g, są ciągłe $\in \left[a, b\right]

• f, g, są różniczkowalne

• \(g' \neq 0 \in \left(a,b\right)\)

wtedy:

\[\begin{split} \exists c \in \left(a,b\right) \\ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \end{split}\]

Wskazówka

\(g(a) \neq g(b)\) ponieważ g jest różniczkowalna \(\Rightarrow~g(b)-g(a) \neq 0\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.07.md

Wnioski Tw. Lagrange’a

Ważne

funkcja \(f: I \to \mathbb{R}\) jest różniczkowalna

• jeżeli \(f' \equiv 0 \Rightarrow f \equiv const\)

• jeżeli \(f' \geq 0 \Rightarrow\) f jest niemalejąca

• jeżeli \(f' \leq 0 \Rightarrow\) f jest nierosnąca

Twierdzenie AGH

\[\begin{split} \forall x \geq 0 \quad \sqrt{x} \leq \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \\ a, b > 0 \\ A = \frac{a + b}{2} \\ G = \sqrt{a * b} \\ \\ x = \frac{a}{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}} \leq \frac{1}{2} \frac{a}{b} + \frac{1}{2} \\ b * \sqrt{\frac{a}{b}} \leq \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b \\ G \leq A \\ \frac{1}{H} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \\ \bf{\color{red}{A} \color{white}{\geq} \color{green}{G} \color{white}{\geq} \color{black}{H}} \end{split}\]

Reguła de l’Hospitala

Reguła de l’Hospitala

f, g to funkcje różniczkowalne.

\[\begin{split} jeżeli~\lim_{x\to a}\frac{f}{g} = \frac{0}{0} \\ jeżeli \quad \exists \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = G \Rightarrow \exists \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = G \end{split}\]

Wskazówka

\[\begin{split} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \\ \lim_{x \to 0} \frac{(sin(x))'}{x'} \\ \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{1} = 1 \Rightarrow \exists \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \\ \end{split}\]

Informacja

• f jest niższego rzędu (niż g) gdy \(\frac{f}{g} \to 0\)

• f i g są równego rzędu gdy \(\frac{f}{g} \to const \neq 0\)

• jeżeli \(\frac{f}{g} \to 1\), to f i g są asymptotycznie równoważne

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.13.md

Pojęcie Różniczki

Jeżeli f jest różniczkowalna

\[\begin{split} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \to f'(x) \\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - f'(x) \to 0 \\ \frac{f(x+h)-f(x)-f'(x) * h}{h} \to 0 \\ f(x+h)-f(x)-f'(x_0) * h= o(h) \\ \Delta y-f'(x_0) * h= o(h) \\ \Delta y = f'(x_0) * \Delta x + o(\Delta x) \end{split}\]

Informacja

Odwzorowanie liniowe \(h \to f'(x_0) * h\) nazywamy różniczką funkcji f w punkcie \(x_0\).

Jest to odwzorowanie takie, że \(f(x_0+h) - f(x_0) = f'(x_0) * h + o(h)\)

Oznaczenia

\(f\)	pochodna
\(f\)	\(f'\)	\(\frac{df}{dx}\)
\(f'\)	\(f''\)	\(\frac{d^2 f}{dx^2}\)

Definicja

Funkcję nazywamy funkcją klasy \(C^k\) jeżeli ma pochodne do rzędu k i kta pochodna jest ciągła.

Wzór Taylora

\[\begin{split} F: I \to \mathbb{R}~\land ~ "f klasy" C^1 \\ \text{tw. lagrange'a dla przedziału} \left(x_0, x_0+h\right) \\ f(x_0+h)-f(x_0) = f'(\psi) * h \\ f(x_0+h)=f(x_0) + f'(\psi) * h \\ \exists \psi \in (x_0, x_0+h) \\ \psi = x_0 + \theta h \quad \theta \in \left<0,1\right> \\ \end{split}\]

\[\begin{split} Niche~f~będzie~klasy~C^n \\ \exists \psi~f(x_0+h) = f(x_0) + \frac{h}{1!} f'(x_0) + \frac{h}{2!} f''(x_0) + ... + \frac{h}{n!} f^{(n)}(\psi) \end{split}\]

Ostatnie równanie nazywamy Równaniem Taylora z resztą Lagrange’a

Wzór Maclaurina

\[ f(x) = f(0) + x * f'(0) + \frac{x^2}{2!} f''(0) + ... + \frac{x^n}{n!} * f^{(n)} (\theta x) \]

\(f(x)\)	Rozwinięcie
\(e^x\)	\(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!} * e^{\theta x}\)
\(sin(x)\)	\(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... + R_n\)
\(cos(x)\)	\(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + R_n\)
\(ln(1+x)\)	\(0 + x - x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + ... + R_n = \left(\Sigma_{i=1}^n (-1)^{n+1} * \frac{x^n}{n}\right)+R_n\)
\((x+1)^\alpha\)	\(1 + {\alpha \choose 1} x + {\alpha \choose 2} \frac{x^2}{2!} + {\alpha \choose 3}* \frac{x^3}{3!} + ... + R_n\)

Ważne

\[ {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha-1)(alpha-2) * ... * (\alpha-k)}{k!} \]

Wskazówka

Zastosowanie wzoru Taylora do obliczeń przybliżonych:

dla x = 1, n = 6

\[\begin{split} e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} * e^\theta \\ 0 \leq \theta \leq 1 \\ e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} \\ \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.14.md

Twierdzenie

Liczba \(e\) nie jest liczbą wymierną.

\[\begin{split} \text{Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną w postaci} \frac{p}{q} p,q \in \mathbb{N} \\ e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{q!} + \frac{1}{(q+1)!} e^\theta \\ \end{split}\]

e jest liczbą przestępną (nie jest pierwiastkiem wiielomianu o współczynnikah rzeczywistych)

Reszta Peano

\[ f(x+h) = f(x_0) + \frac{h}{1!} f'(x) + \frac{h^2}{2!} f''(x_0) + ... +\frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x_0) + o(h^n) \]

Ekstrema lokalne

Informacja

Jeżeli funkcja osiąga w punkcie \(x_0\) extremum, ot jej pochodna jest równa 0

Ostrzeżenie

nie oznacza to, że spełnione jest twierdzenie odwrotne

Jeżeli pochodna funkcji zeruje się, oznacza to, że punkt \(x_0\) jest punktem podejrzanym oe ekstremum.

Punkty podejrzane o ekstrenum znajdują się również w punktach, w których pochodna nie istnieje.

Szukanie ekstremów:

• pochodna musi zmieniać znak

• jeśli \(f'(x_0) \land f''(x_0) > 0 \Rightarrow\) f posiada minimum lokalne$

• druga pochodna wskazuje czy dany punkt to minimum czy maksimum

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.20.md

Zadania

Informacja

Z kwadratoweo arkusza blachy wycinamy 4 kwadratowe kawałki (na rogach). Z czego powstaje nam “pudełko”. Jaka największa objętość?

\[\begin{split} 0 < x < \frac{a}{2} \\ V(x) = (a-2x)^2 x \\ \end{split}\]

szukamy największą wartość funkcji w przedziale \(x \in \left<0, \frac{a}{2}\right>\)

\[\begin{split} V'(x) = (a-2x)^2 -4x(a-2x) \\ V'(x) = (a-2x)(a-2x -4x) \\ V'(x) = (a-2x)(a-6x) \\ x = \frac{a}{2} \lor x = \frac{a}{6} \\ \end{split}\]

Informacja

\[\begin{split} O(h) = C * sin \alpha * \frac{1}{r^2} \\ \frac{a}{r} = cos \alpha \\ O(h) = C * sin \alpha * \frac{cos^2 \alpha}{a^2} \\ O(h) = \frac{C}{a^2} * sin \alpha * cos^2 \alpha \\ f(x) = sin x * cos^2 x \\ x \in \left<0, \frac{\pi}{2}\right) \\ f'(x) = cos^3 x - 2sin^2 x cos x \\ f'(x) = cos x (cos^2 x - 2sin^2 x) \\ x = \frac{\pi}{2} &\lor tg^2 x = \frac{1}{2} \\ &\lor tg x = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{tg > 0 w przedziale} \\ &\lor x = arctg \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{split}\]

Wypukłość funkcji

f jest wypukłą ku górze jeśli w pewnym otoczeniu wykres f jest poniżej wykresu stycznej.

Funkcja jest wypukła ku dołowi w punkcie \(x_0\) jeżeli w tm punkcie wykres jest powyżej wykresu stycznej

Twierdzenie o wypukłości

f klasy \(C^2\)

Jeżeli f wypukła ku górze \(\Rightarrow f''(x_0) \leq 0\) Jeśli \(f''(x_0) < 0 \Rightarrow\) funkcja jest wypukła ku górze.

Asymptoty

Asymptoty to proste, do których wykres danej funkcji zbliża się dowolnie blisko.

Wskazówka

Prosta o równaniu \(y = ax+b\) jest asymptotą ukośną, jeśli \(f(x)-ax-b \to 0~dla~x\to \infty\)

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest asymptotą ukośną funkcji f \(\Leftrightarrow\) \(\exists lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \land\) \(\exists lim_{x \to \infty} f(x)-ax = b\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.21.md

Sporządzanie wykresów funkcji

• faza I:

  • “Dziedzina” funkcji

  • granice na krańcach (e.g. w \(\infty, -\infty\))

  • punkty charakterystyczne typu \(f(0)\)

  • szczególne własności funkcji (np. f jest parzysta \(f(x) = f(-x)\))

  • okresowość

• szkic wykresu

• poprawki na wykresie

  • obliczanie pochodnej funkcji (ekstrema, przegięcia, monotoniczność)

  • obliczanie drugiej pochodnej (badanie wypukłości, asymptoty ukośne)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.04.md

Rachunek Całkowy

Kalkulator Całek

definicja całki

f to funkcja określona na przedziale otwartym

jeżeli F na tym samym przedziale ma pochodną i \(F'(x) = f(x)\) funkcję F nazywamy funkcją pierwotną f lub całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy \(\int f(x) dx\)

Twierdzenie o stałej całkowania

Jeżeli F jest funkcją pierwotną f, to \(F + C\) róœnież jest pierwotną funkcji f$

\(\int f(x) dx\) to rodzina funkcji. Funkcja pierwotna jest określona z dokładnością do stałej. $$

Metody obliczania całek

Zgadywanie

f(x)	\(\int f(x) dx\)
\(0\)	const
\(C\)	\(C x\)
\(x^2\)	\(\frac{1}{2} x^2\)
\(x^\alpha\)	\(\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1} ~ \alpha \neq -1\)
\(\frac{1}{x}\)	$ln(
\(cos(x)\)	\(sin(x)\)
\(sin(x)\)	\(-cos(x)\)
\(ctg(x)\)	$ln(
\(tg(x)\)	$-ln(
\(\frac{1}{cos^2(x)}\)	\(tg(x)\)
\(\frac{-1}{sin^2(x)}\)	\(ctg(x\))$
\(e^x\)	\(e^x\)
\(e^{-x}\)	\(-e^{-x}\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(arctg(x)\)
\(cosh(x)\)	\(sinh(x)\)
\(sinh(x)\)	\(cosh(x)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(arcsin(x)\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\)	\(ln(x+\sqrt{x^2+a})\)

Liniowość*

Jeśli f i g mają funkcje pierwotne \(f+g\) oraz \(c*f\) też mają funkcje pierwotne oraz \(\int f+g = \int f + \int g\) natomiast \(\int c*f = c * \int f\).

Ważne

Operacja całkowania nie jest liniowa, ponieważ wystęþuje translacja o stałą

Ważne

niech \(f(x) \neq 0\)

\[ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln(f(x)) \]

Informacja

\[\begin{split} \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx = \\ = \frac{1}{2} ln (1+x^2) + C \\ \\ \int ctg(x) dx = \int \frac{cos(x)}{sin(x)} dx = ln(sin(x)) + C \\ \\ \int tg(x) dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)} dx = \\ = - \int \frac{-sin(x)}{cos(x)} dx = -ln(|cos(x)|) + C \end{split}\]

przez części

\[\begin{split} f * g = \int f' * g + \int f * g' \\ \int f' * g = f * g - \int f g' \end{split}\]

Informacja

\[\begin{split} \int x * e^x = \int x * (e^x)' = x * e^x - \int e^x = x * e^x - e^x \\ \cancel{\int x * e^x = \int (\frac{x^2}{2})' * e^x = \frac{x^2}{2} e^x - \int(\frac{x^2}{2}e^x)} \\ \\ \int ln(x) = \int 1 * ln(x) = \int (x)' ln(x) = x ln(x) - \int x * \frac{1}{x} = x * ln(x) - x \\ \end{split}\]

Ostrzeżenie

EGZAMIN Z ANALIZY

• Czas trwania: 90 min

• 1 termin na początku sesji

• 4 zadania (3 zadania-zadania + 1 teoria).

• Zadania klasyczne

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.11.md

Przez podstawienie

Podstawienie

Niech \(G(y)\) będzie funkcją pierwotną funkcji \(g(y)\) a \(f(x)\) będzie klasy \(C^1\). Wtedy $\int g(y)dy |_{y = f(x)} = \int g(y) f’(x) dx

Wskazówka

\[\begin{split} \int \sqrt{1-x^2} dx \\ x = sin t \\ dx = cos t dt \\ \int \sqrt{1-sin^2t} cos t*dt = \\ = \int cos^2(t) dt = \frac{1}{2} \int 2 cos^2{t} dt = \\ = \frac{1}{2} \int 1 + cos(2t) dt = \\ = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} sin(2t)) = \\ \frac{1}{2} arcsin(x) + \frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2}\end{split}\]

\[\begin{split} I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} \\ I_1 = arctg(x) \\ I_n = \int \frac{1+x^2 - x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{dx}{(1+x^2)^n} - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx = \\ = I_{n-1} - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n} I_n = \frac{1}{2n-2} \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} \end{split}\]

Całki funkcji wymiernych

\[ \int \frac{P(x)}{Q(x)} = ? \]

Należy znaleźć rozkład funkcji na ułamki proste:

f(x)	\(\int f(x) dx\)
\(\frac{A}{x-A}\)	$ln(x-A)
\(\frac{A}{(x-A)^k}\)	\(\frac{-1}{x-1} ....\)

• \(\frac{Cx - B}{(x-p)^2 + q^2}\)

• \(\frac{Cx - B}{((x-p)^2 + q^2)^k}\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.18.md

Całkowanie ułamków prostych

\[ \frac{Ax+B}{((x-p)^2 +q)^k} \]

Wskazówka

\[\begin{split} \frac{x+3}{((x-2)^2+5)^2} \\ y=(x-2)^2+5 \\ dy = 2(x-2)dx \\ \frac{2(x-2)-2(x-2) + x+3}{((x-2)^2+5)^2} \\ \end{split}\]

Informacja

Rozkładanie na ułamki proste

\[\begin{split} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \\ 1 = A(x+2) + B(x-1) \\ 1 = Ax + 2A + Bx - B \\ \left\{\begin{matrix} A + B = 0 \\ 2A - B = 1 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow A = -B = \frac{1}{3} \\ \end{split}\]

Całkowanie Funkcji typu \(R(cos(x), sin(x))\)

Metoda: Podstawienie \(t=tg\frac{x}{2}\)

\[\begin{split} sin(x) = 2 * sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) = \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} \\ cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ tg(x) = \frac{2t}{1+t} \\ dt = 2 \frac{1}{1+t^2}dt \end{split}\]

Całki z pierwiastkiem

\[\begin{split} \int \sqrt{1-x^2}dx \\ x = sin(t) \\ dx = cos(t) \\ \int \sqrt{1-sin^2(t)} cos(t) dt \\ \int cos^2(t) dt \\ \\ \\ \int \sqrt{1+x^2}dx \\ x= sinh(t) \\\end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.08.md

Całka Oznaczona (Rimana)

Podzielmy przedział \((a, b)\) na n części, w taki sposób.

\[\begin{split} \Delta x_i = |X_i - X_{i-1}| \\ \delta_n = max(\Delta x) \\ \\ s_n = \Sigma_{i} n_i * \Delta x_i \\ c_n = \Sigma_i \psi(i) \Delta x_i \\ S_n = \Sigma_i M \Delta x_i \\ \end{split}\]

• \(n_i\) to infinum funkcji w danym przedziale (najmniejsza wartość)

• \(M\) to supremum funckji w danym przedziale (czyli mnożenie przez największą wartość funkcji w przedziale)

Wskazówka

\(s_n\) reprezentuje sumę wszystkich prostokątów w zaokrągleniu pod wykresem, natomiast \(S_n\) - wszystkich kawałkóœ zaokrąglonych do maksymalnej wartości

definicja całki oznaczonej

Jeżeli suma \(\sigma_n\) przy dowolnym coraz róœniejszym podziale (tzn. przy \(\sigma_n \to 0\)) dąży do tej samej granicy niezależnie od wyboru punktóœ podziału ani od wyboru od wyboru punktów \(\psi_i\) to granicę tę nazywamy Całką Oznaczoną z funkcji f w przedziale \(\left<a, b\right>\) (tzw. całka Rimmana)

Oznaczenia:

\[ \int_a^b f(x)dx = \int_{\left<a, b\right>} f \]

Całka nie zawsze istnieje.

Całka \(\exists \int_a^b \Leftrightarrow s_n = S_n\)

Wskazówka

f jest jednostajnie ciągła, \(\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0\) że jeżeli \(|x-x'| < \delta \Rightarrow f(x) - f(x') < \epsilon\)

\(\epsilon > 0\) i f jednostajnie ciągła, \(x-x' < \epsilon \Rightarrow f(x)-f(x')<\delta\)

\[ S_n - s_n = \Sigma_i x_i (M-m ) <= \epsilon \Sigma_i x_i = \epsilon (a-b) \]

Własności całki Rimmana

• spełnia zasadę liniowości (rozdzielność względem dodawania oraz mnożenia przez skalar)

• addytywność względem przedziału - jeżeli \(c \in \left<a,b\right>\) to \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)

• \(m(b-a)\leq \int_a^b \leq M(b-a)\)

• twierdzenie o wartośći średniej dla całęk (jeżeli f ciągła) \(\exists \psi \in \left<a,b\right> ~ \frac{1}{b-a} \int_a^b f = f(\psi)\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.15.md

Zastosowania całek

Pole pod wykresem

Jeżeli funkcja jest całkowalna, to pole pomiędzy prostymi \(a\) i \(b\) wynosi \(\int_a^b f(x)dx\).

Informacja

całka to nie jest pole. (e.g. \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin~x~dx = 0\))

pole elipsy

\[\begin{split} \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1 \\ y = +- \frac{B}{A} * \sqrt{A^2 - x^2} \\ \\ P = 4 \int_0^a \frac{B}{A} \sqrt{A^2-x^2} = \pi * A * B \\ \end{split}\]

###4 Obliczanie długości krzywej

\[\begin{split} l = \Sigma_i \sqrt{(\phi(t_i) - \phi(t_i - 1))^2 + (\psi(t_i) - \psi(t_i - 1))^2} = \\ = \Delta t_i \Sigma_i \sqrt{\phi'(u_i)^2 + \psi(\zeta_i)^2 } \\ \int_\alpha^\beta \sqrt{\phi'^2 + \psi'^2 } dt \\\end{split}\]

Twierdzenie

\[ \gamma = \int_\alpha^\beta \sqrt{\phi'^2 + \psi'^2} dt \]

jeżeli krzywa jest opisana równaniem

\[ \gamma = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} dx \]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.22.md

Krzywe Stożkowe

Te krzywe powstają poprzezs przecięcie stożka płaszczyzną.

• okrąg

• elipsa \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Mimośrodem elpisy nazywamy parametr \(e = \frac{c}{a} <1\) (c to odległość ognisk od środka elipsy)

• hiperbola \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) \(\left|\left|PF_1\right| - \left|PF_2\right|\right| = 2a\)

• parabola: Załóżmy ognisko \(F\) i prostą \(k\) nieprzechodzącą przez ten punkt. Prostą nazywamy kierownicą. \(\left|PF\right| = odl(P,k) \quad y^2 = 2px\)

Ogólen róœnanie krzywych stożkowych: $\rho = \frac{p}{1+e*cos\phi}