---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.09.md

Matematyka 1

Iloczyn kartezjański:

$A\times B=\left\{\begin{array}{cc}(a,b)& \begin{array}{c}a\in A\\ b\in B\end{array}\end{array}\right\}$

iloczyn kartezjański ${\mathbb{R}}^2$ przedstawiamy jako płaszczyznę (x,y) a pojedynczą pare przedstawiamy jako punkt

Funkcja

$f:A\to B$ - każdemu elementowi ze zbiour A jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B

• A - dziedzina funkcji

• $f(a)$ to zbiór wartości

własności funkcji

• funkcję $f$ nazywamy iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) jeżeli $\mathrm{\forall }{a}_1,a_2\in Af(a_1)\ne f(a_2)$

• funkcję f nazywamy surjekcją (odwzorowaniem na) jeżeli $\mathrm{\forall }b\in b\mathrm{\exists }ainAf(a)=b$

• f jest bijekcją $\iff$ f jest injekcją oraz surjekcją

jeżeli surjekcja $\iff$ równanie ma rozwiązanie $\mathrm{\forall }y$ jeżeli injekcja $\iff$ równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie

jeżeli f jest bijekcją, wtedy istnieje funkcja odwrotna $f^{-1}:B\to A{f}^{-1}(y)=x\iff f(x)=y$

badanie własności fnkcji

• jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w 2 lub więcje punktach to funkcja ta nie jest injekcją

• jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w dokłądnie w 0 punktach to funkcja ta nie jest surjekcją

Ważne

prosta musi należeć do zW

Ważne

wykres funkcji $f^{-1}$ jest symetryczny do wykresu $f$ względem prostej $y=x$

niech $f(x)=sin(x)$ niech $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\wedge y\in [-1,1]$ tak zdefiniowana funkcja jest bijekcją $\Rightarrow \mathrm{\exists }{f}^{-1}$

$\mathbf{s}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{c}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}$

składanie funkcji

$$\begin{array}{rl}f:A& \Rightarrow B\\ g:B& \Rightarrow C\\ h(x)& =g(f(x))\\ h& =g\cdot f\end{array}$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.15.md

Ciągi

Zbierzność asymptotyczna $\frac{a_n}{b_n}\to 1$

wzór Sterlinga

$n! ~ n^n - e^{-n} \sqrt{2 \pi n}

ważne granice

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=1\end{array}$$

$$\begin{array}{r}dlaa>1\\ li{m}_{x\to 0}{a}^x=1\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{a}^{\frac{1}{n+1}}<a^x<a^{\frac{1}{n}}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=logna\end{array}$$

Funkcje ciągłe

$$niechf:D\to \mathbb{R}$$

f jest ciągła w punkcie $x_0\in D$ jeśli $\mathrm{\exists }\underset{x\to x_0}{lim}=f(x_0)$

Ważne

funkcja $f(x)=\frac{1}{x}x\ne 0$ jest ciągła, mimo, że w $x_0=0$ granica nie istnieje, ponieważ $x_0\notin D$

Wskazówka

$f(x)=sin\frac{1}{x}$

Własności funkcji ciągłych

Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku

niech f ciągła. Dla dowolnego punktu $x_0\wedge f(x_0)>0\Rightarrow \mathrm{\exists }a=(x_0-ϵ,x_0+ϵ)takiże\mathrm{\forall }{x}_a\in af(x_a)>0$

Wskazówka

jeżeli f jest ciągła oraz $\mathrm{\exists }a,bf(a)<0\wedge f(b)>0\Rightarrow \mathrm{\exists }{x}_0\in (a,b)f(x_0)=0$

Twierdzenie Bezuta

jeżeli $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian $W(x)$ można przedstawić jako $W(x)=(x-x_0)P(x)$

własoność Garbouta

własnność o przyjmowaniu wartościpośrednich

dla $f:I\to \mathbb{R}$ Jeżeli f(a) = m i f(b) = M $\wedge m<M\wedge m<W<M$

$\mathrm{\forall }\mathbf{W}\in \mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{,}\mathbf{M}\mathbf{)}\mathrm{\exists }\mathbf{x}\in \mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{W}$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.23.md

Twierdzenie o osiąganiu kresów

Jeżeli funkcja $f⟨a,b⟩\to \mathbb{R}$ jest ciągła, to:

• jest ograniczona

• oraz $\mathrm{\exists }{x}_1{x}_2\in (a,b)f(x_1)=m\wedge f(x_2)=M$ gdzie m to kres dolny a M to kres górny

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej

niech funkcja $f⟨a,b⟩\to \mathbb{R}$ będzie ciągła

$$\begin{array}{r}f(a)=c\\ f(b)=d\\ f(a)<f(b)\end{array}$$

wtedy

• f jest ściśle rosnąca $\iff$ f ma funkcję odwrotną

• jeśli istnieje funkcja odwrotna, to jest ona również ciągła

Wskazówka

Funkcja ściśle rosnąca to taka, dla którje prawdziwe jest twierdzenie $\mathrm{\forall }{x}_1<x_{2}f(x_1)<f(x_2)$

Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej

Niec $f:D\to \mathbb{R}$ i $g:D\to \mathbb{R}$ będzie ciągła wtedy $h=f\dot{g}$ - h jest ciągła

Twierdzenie o 4 działaniach dla funkcji ciągłych

$f,g:D\to \mathbb{R}$, jeżeli f, g ciągłe w D $f+g\wedge f-g\wedge f\ast g$ są ciągłe. Ponadto jeżeli $g\ne 0\Rightarrow \frac{f}{g}$ są również ciągłe

Przykłady funkcji ciągłych

• $f(x)\equiv const$

• $f(x)=x$

• $f(x)=c\ast x$

• $f(x)=c_1\ast x+c_2$

• $f(x)=x^2$

Informacja

Wielomiany są funkcjami ciągłymi

• $\sqrt[n]{x}$ (funkcja odwrotna do $x^n$)

• $f(x)=a^{x}a>0\wedge a\ne 1$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.24.md

$$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}tgh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Interpretacja krzywej

Opis parametryczny krzywej:

• Okrąg

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}x=rsin(t)\\ y=rcos(t)\end{array}\end{array}$$

• Elipsa

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}x=acos(t)\\ y=bsin(t)\end{array}\end{array}$$

• Hiperbola

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}x=acosh(t)\\ y=bsinh(t)\end{array}\end{array}$$

Informacja

$$arsinh(x)=logn(x+\sqrt{1+x})$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.30.md

Różniczkowanie

Niech $y=f(x)=a\ast x$ wtedy dla $x=1y=a\Rightarrow a=tg\alpha$

Informacja

podejście geometryczne:
Spróbujmy znaleźć wykres stycznej do wykresu funkcji $f(x)

Sieczna - prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty należące do wykresu funkcji $f(x)$

$y-y_0=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)$ - równanie siecznej przechodzącej przez $x$ i $x_0$

Definicja pochodnej

granicę $li{m}_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ o ile istnieje nazywamy pochodną funkcji f w punkcie $x_0$ i oznaczymy $f^{\prime }(x_0)$ lub $\frac{df}{dx}$

Ważne

Interpretacja geometryczna
$f^{\prime }(x_0)$ to $tg$ kąta nachylenia stycznej do fykresu funkcji f w punkcie $x_0$

$f:I\to \mathbb{R}$ jeżeli $\mathrm{\forall }xinI\mathrm{\exists }{f}^{\prime }(x)f^{\prime }:X\to \mathbb{R}$

Przykłady funkcji pochodnych

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
$f(x)=a$	$f^{\prime }(x)=0$
$y=ax+b$	$\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}=a$
$y=a{x}^2$	$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=x+hdlah\to 0f^{\prime }(x)=2x$
$y=\sqrt{x}$	$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\to \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$y=x^n$	$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=n\ast x^{n-1}$
$y=sin(x)$ więcej	$y^{\prime }=cos(x)$
$y=arctg(x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

Zaawansowany Kalkulator Pochodnych

Przykłady funkcji, które nie mają pochodnych

$$\begin{array}{r}f(x)=|x|\\ f^{\prime }(0)=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}\\ Dlah<0f^{\prime }(0)\to -1\wedge dlah>0f^{\prime }(0)\to 1\end{array}$$

Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli f jest różnniczkowalna, to f jest ciągła

$$\begin{array}{r}f(x_0+h)=f(x_0+h)-f(x)+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ast h+f(x)=\\ =0+f(x)\end{array}$$

Działania na pochodnych

Twierdzenie o różniczkowalności złożeń funkcji różniczkowalnych

Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne, to funkcje $f+g$ oraz $c\ast g$ są różniczkowalne i zachodzą następujące wzory

$$\begin{array}{r}(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\ast g{)}^{\prime }=c\ast g^{\prime }\end{array}$$

Wskazówka

Nie jest prawdą stwierdzenie, że “suma pochodnych jest pochodną sumy”. prawdą jest, że “suma pochodnych jest pochodną sumy Przy stosownych założeniach”.

Wskazówka

$f(x)=ax+b$ nie jest operacją liniową, ponieważ $f(x_1+x_2)\ne a{x}_1+b+a{x}_2+b$

Pochodne funkcji trygonometrycznych

$$\begin{array}{r}y=sin(x)\\ y^{\prime }=\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\\ y^{\prime }=\frac{sinx\ast cosh+cosx\ast sinh-sinx}{h}=\frac{2sinx(cosh-1}{h})=cosx\end{array}$$

Pochodna funkcji wykładniczej

$$\begin{array}{r}(a^x{)}^{\prime }=\frac{a^x{a}^h-a^x}{h}=a^x\frac{a^h-1}{h}==logna\ast a^x\\ \\ (e^x{)}^{\prime }=logne\ast e^x=e^x\end{array}$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.31.md

pochodna iloczynu

Jeżeli f, g są różniczkowalne $(f\ast g{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

pochodna ilorazu

jeżeli f i g są różniczkowalne i $g\ne 0$ wtedy $\frac{f}{g}=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

$$\begin{array}{r}t{g}^{\prime }(x)={\left(\frac{sin(x)}{cos(x)}\right)}^{\prime }=\frac{1}{co{s}^2(x)}\\ ct{g}^{\prime }(x)={\left(\frac{cos(x)}{sin(x)}\right)}^{\prime }=\frac{-1}{si{n}^2(x)}\end{array}$$

twierdzenie

jeżeli $\mathrm{\exists }{f}^{-1}\wedge \mathrm{\exists }{f}^{\prime }$ wtedy $\frac{dy}{dx}={\left(\frac{dx}{dy}\right)}^{-1}$

$$\begin{array}{r}arct{g}^{\prime }(x)=\frac{1}{arctg(x)}\\ (lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{lna}\ast \frac{1}{x}\end{array}$$

pochodna złożenia funkcji

złożenie możliwe $\iff$ f i g są różniczkowalne, wtedy $g(f(x))$ też jest różniczkowalna i $\frac{dh}{dx}=\frac{dz}{dy}\ast \frac{dy}{dx}$

Pochodna logarytmiczna

jeżeli f jest różniczkowalna i $f>0$

$$ln(f(x){)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.06.md

$$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^2,x\in \mathbb{Q}\\ 0,x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}\end{array}$$

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x=0 ($\frac{h^2}{h}\to 0$)

Zastosowanie pochodnych

Maksimum lokalne

$$\begin{array}{r}f:I\to \mathbb{R}I=(a,b)\\ \mathrm{\exists }\delta x_0\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\\ f(x)\le f(x_0)\end{array}$$

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnych w maksimum lokalnym

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i ma w punkcie $x_0$ maksimum lokalne $\iff f^{\prime }(x_0)=0$

$$\begin{array}{r}R=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ dla{x}_0>x\wedge x\to x_0\\ f(x)-f(x_0)\le 0\wedge x-x_0\ge 0\Rightarrow R<0\\ dla{x}_0>x\wedge x\to x_0\\ f(x)-f(x_0)\le 0\wedge x-x_0\le 0\Rightarrow R>0\\ R\le 0\ge R\Rightarrow R=0\end{array}$$

Informacja

jeżeli f jest ciągła i różniczkowalna

$$\begin{array}{r}f:I\to \mathbb{R}I=(a,b)\\ jeżelif(a)=f(b)\\ \mathrm{\exists }c\in I,f^{\prime }(c)=0\end{array}$$

Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej

• f jest ciągła

• f jest różniczkowalna

$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }c\in (a,b)\\ f^{\prime }(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\end{array}$$

Twierdzenie Coushy’ego

• f, g, są ciągłe $\in \left[a, b\right]

• f, g, są różniczkowalne

• $g^{\prime }\ne 0\in (a,b)$

wtedy:

$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }c\in (a,b)\\ \frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\end{array}$$

Wskazówka

$g(a)\ne g(b)$ ponieważ g jest różniczkowalna $\Rightarrow g(b)-g(a)\ne 0$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.07.md

Wnioski Tw. Lagrange’a

Ważne

funkcja $f:I\to \mathbb{R}$ jest różniczkowalna

• jeżeli $f^{\prime }\equiv 0\Rightarrow f\equiv const$

• jeżeli $f^{\prime }\ge 0\Rightarrow$ f jest niemalejąca

• jeżeli $f^{\prime }\le 0\Rightarrow$ f jest nierosnąca

Twierdzenie AGH

$$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }x\ge 0\sqrt{x}\le \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\ a,b>0\\ A=\frac{a+b}{2}\\ G=\sqrt{a\ast b}\\ \\ x=\frac{a}{b}\\ \sqrt{\frac{a}{b}}\le \frac{1}{2}\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\\ b\ast \sqrt{\frac{a}{b}}\le \frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\\ G\le A\\ \frac{1}{H}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\\ \mathbf{A}\ge \mathbf{G}\ge \mathbf{H}\end{array}$$

Reguła de l’Hospitala

Reguła de l’Hospitala

f, g to funkcje różniczkowalne.

$$\begin{array}{r}jeżeli\underset{x\to a}{lim}\frac{f}{g}=\frac{0}{0}\\ jeżeli\mathrm{\exists }\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=G\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=G\end{array}$$

Wskazówka

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{(sin(x){)}^{\prime }}{x^{\prime }}\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{cos(x)}{1}=1\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=1\end{array}$$

Informacja

• f jest niższego rzędu (niż g) gdy $\frac{f}{g}\to 0$

• f i g są równego rzędu gdy $\frac{f}{g}\to const\ne 0$

• jeżeli $\frac{f}{g}\to 1$, to f i g są asymptotycznie równoważne

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.13.md

Pojęcie Różniczki

Jeżeli f jest różniczkowalna

$$\begin{array}{r}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f^{\prime }(x)\\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime }(x)\to 0\\ \frac{f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)\ast h}{h}\to 0\\ f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x_0)\ast h=o(h)\\ \mathrm{\Delta }y-f^{\prime }(x_0)\ast h=o(h)\\ \mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\ast \mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)\end{array}$$

Informacja

Odwzorowanie liniowe $h\to f^{\prime }(x_0)\ast h$ nazywamy różniczką funkcji f w punkcie $x_0$.

Jest to odwzorowanie takie, że $f(x_0+h)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\ast h+o(h)$

Oznaczenia

$f$	pochodna
$f$	$f^{\prime }$	$\frac{df}{dx}$
$f^{\prime }$	$f^{″}$	$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$

Definicja

Funkcję nazywamy funkcją klasy $C^k$ jeżeli ma pochodne do rzędu k i kta pochodna jest ciągła.

Wzór Taylora

$$\begin{array}{r}F:I\to \mathbb{R}\wedge "fklasy"C^1\\ \text{tw. lagrange'a dla przedziału}(x_0,x_0+h)\\ f(x_0+h)-f(x_0)=f^{\prime }(\psi )\ast h\\ f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(\psi )\ast h\\ \mathrm{\exists }\psi \in (x_0,x_0+h)\\ \psi =x_0+\theta h\theta \in ⟨0,1⟩\end{array}$$

$$\begin{array}{r}Nichefbędzieklasy{C}^n\\ \mathrm{\exists }\psi f(x_0+h)=f(x_0)+\frac{h}{1!}{f}^{\prime }(x_0)+\frac{h}{2!}{f}^{″}(x_0)+...+\frac{h}{n!}{f}^{(n)}(\psi )\end{array}$$

Ostatnie równanie nazywamy Równaniem Taylora z resztą Lagrange’a

Wzór Maclaurina

$$f(x)=f(0)+x\ast f^{\prime }(0)+\frac{x^2}{2!}{f}^{″}(0)+...+\frac{x^n}{n!}\ast f^{(n)}(\theta x)$$

$f(x)$	Rozwinięcie
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}\ast e^{\theta x}$
$sin(x)$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+R_n$
$cos(x)$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+R_n$
$ln(1+x)$	$0+x-x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+...+R_n=({\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n(-1{)}^{n+1}\ast \frac{x^n}{n})+R_n$
$(x+1{)}^{\alpha }$	$1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{2})\frac{x^2}{2!}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{3})\ast \frac{x^3}{3!}+...+R_n$

Ważne

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{\alpha (\alpha -1)(alpha-2)\ast ...\ast (\alpha -k)}{k!}$$

Wskazówka

Zastosowanie wzoru Taylora do obliczeń przybliżonych:

dla x = 1, n = 6

$$\begin{array}{r}e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}\ast e^{\theta }\\ 0\le \theta \le 1\\ e\approx 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}\end{array}$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.14.md

Twierdzenie

Liczba $e$ nie jest liczbą wymierną.

$$\begin{array}{r}\text{Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną w postaci}\frac{p}{q}p,q\in \mathbb{N}\\ e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{q!}+\frac{1}{(q+1)!}{e}^{\theta }\end{array}$$

e jest liczbą przestępną (nie jest pierwiastkiem wiielomianu o współczynnikah rzeczywistych)

Reszta Peano

$$f(x+h)=f(x_0)+\frac{h}{1!}{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2!}{f}^{″}(x_0)+...+\frac{h^n}{n!}{f}^{(n)}(x_0)+o(h^n)$$

Ekstrema lokalne

Informacja

Jeżeli funkcja osiąga w punkcie $x_0$ extremum, ot jej pochodna jest równa 0

Ostrzeżenie

nie oznacza to, że spełnione jest twierdzenie odwrotne

Jeżeli pochodna funkcji zeruje się, oznacza to, że punkt $x_0$ jest punktem podejrzanym oe ekstremum.

Punkty podejrzane o ekstrenum znajdują się również w punktach, w których pochodna nie istnieje.

Szukanie ekstremów:

• pochodna musi zmieniać znak

• jeśli $f^{\prime }(x_0)\wedge f^{″}(x_0)>0\Rightarrow$ f posiada minimum lokalne$

• druga pochodna wskazuje czy dany punkt to minimum czy maksimum

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.20.md

Zadania

Informacja

Z kwadratoweo arkusza blachy wycinamy 4 kwadratowe kawałki (na rogach). Z czego powstaje nam “pudełko”. Jaka największa objętość?

$$\begin{array}{r}0<x<\frac{a}{2}\\ V(x)=(a-2x{)}^{2}x\end{array}$$

szukamy największą wartość funkcji w przedziale $x\in ⟨0,\frac{a}{2}⟩$

$$\begin{array}{r}{V}^{\prime }(x)=(a-2x{)}^2-4x(a-2x)\\ V^{\prime }(x)=(a-2x)(a-2x-4x)\\ V^{\prime }(x)=(a-2x)(a-6x)\\ x=\frac{a}{2}\vee x=\frac{a}{6}\end{array}$$

Informacja

$$\begin{array}{r}O(h)=C\ast sin\alpha \ast \frac{1}{r^2}\\ \frac{a}{r}=cos\alpha \\ O(h)=C\ast sin\alpha \ast \frac{co{s}^2\alpha }{a^2}\\ O(h)=\frac{C}{a^2}\ast sin\alpha \ast co{s}^2\alpha \\ f(x)=sinx\ast co{s}^{2}x\\ x\in ⟨0,\frac{\pi }{2})\\ f^{\prime }(x)=co{s}^{3}x-2si{n}^{2}xcosx\\ f^{\prime }(x)=cosx(co{s}^{2}x-2si{n}^{2}x)\\ x=\frac{\pi }{2}& \vee t{g}^{2}x=\frac{1}{2}\\ & \vee tgx=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{tg > 0 w przedziale}\\ & \vee x=arctg\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$

Wypukłość funkcji

f jest wypukłą ku górze jeśli w pewnym otoczeniu wykres f jest poniżej wykresu stycznej.

Funkcja jest wypukła ku dołowi w punkcie $x_0$ jeżeli w tm punkcie wykres jest powyżej wykresu stycznej

Twierdzenie o wypukłości

f klasy $C^2$

Jeżeli f wypukła ku górze $\Rightarrow f^{″}(x_0)\le 0$ Jeśli $f^{″}(x_0)<0\Rightarrow$ funkcja jest wypukła ku górze.

Asymptoty

Asymptoty to proste, do których wykres danej funkcji zbliża się dowolnie blisko.

Wskazówka

Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną, jeśli $f(x)-ax-b\to 0dlax\to \mathrm{\infty }$

Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną funkcji f $\iff$ $\mathrm{\exists }li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{f(x)}{x}=a\wedge$ $\mathrm{\exists }li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)-ax=b$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.21.md

Sporządzanie wykresów funkcji

• faza I:

  • “Dziedzina” funkcji

  • granice na krańcach (e.g. w $\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$)

  • punkty charakterystyczne typu $f(0)$

  • szczególne własności funkcji (np. f jest parzysta $f(x)=f(-x)$)

  • okresowość

• szkic wykresu

• poprawki na wykresie

  • obliczanie pochodnej funkcji (ekstrema, przegięcia, monotoniczność)

  • obliczanie drugiej pochodnej (badanie wypukłości, asymptoty ukośne)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.04.md

Rachunek Całkowy

Kalkulator Całek

definicja całki

f to funkcja określona na przedziale otwartym

jeżeli F na tym samym przedziale ma pochodną i $F^{\prime }(x)=f(x)$ funkcję F nazywamy funkcją pierwotną f lub całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy $\int f(x)dx$

Twierdzenie o stałej całkowania

Jeżeli F jest funkcją pierwotną f, to $F+C$ róœnież jest pierwotną funkcji f$

$\int f(x)dx$ to rodzina funkcji. Funkcja pierwotna jest określona z dokładnością do stałej. $$

Metody obliczania całek

Zgadywanie

f(x)	$\int f(x)dx$
$0$	const
$C$	$Cx$
$x^2$	$\frac{1}{2}{x}^2$
$x^{\alpha }$	$\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}\alpha \ne -1$
$\frac{1}{x}$	$ln(
$cos(x)$	$sin(x)$
$sin(x)$	$-cos(x)$
$ctg(x)$	$ln(
$tg(x)$	$-ln(
$\frac{1}{co{s}^2(x)}$	$tg(x)$
$\frac{-1}{si{n}^2(x)}$	$ctg(x$)$
$e^x$	$e^x$
$e^{-x}$	$-e^{-x}$
$\frac{1}{1+x^2}$	$arctg(x)$
$cosh(x)$	$sinh(x)$
$sinh(x)$	$cosh(x)$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$arcsin(x)$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$	$ln(x+\sqrt{x^2+a})$

Liniowość*

Jeśli f i g mają funkcje pierwotne $f+g$ oraz $c\ast f$ też mają funkcje pierwotne oraz $\int f+g=\int f+\int g$ natomiast $\int c\ast f=c\ast \int f$.

Ważne

Operacja całkowania nie jest liniowa, ponieważ wystęþuje translacja o stałą

Ważne

niech $f(x)\ne 0$

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=ln(f(x))$$

Informacja

$$\begin{array}{r}\int \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}dx=\\ =\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C\\ \\ \int ctg(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sin(x)}dx=ln(sin(x))+C\\ \\ \int tg(x)dx=\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx=\\ =-\int \frac{-sin(x)}{cos(x)}dx=-ln(|cos(x)|)+C\end{array}$$

przez części

$$\begin{array}{r}f\ast g=\int f^{\prime }\ast g+\int f\ast g^{\prime }\\ \int f^{\prime }\ast g=f\ast g-\int f{g}^{\prime }\end{array}$$

Informacja

$$\begin{array}{r}\int x\ast e^x=\int x\ast (e^x{)}^{\prime }=x\ast e^x-\int e^x=x\ast e^x-e^x\\ \cancel{\int x\ast e^x=\int (\frac{x^2}{2}{)}^{\prime }\ast e^x=\frac{x^2}{2}{e}^x-\int (\frac{x^2}{2}{e}^x)}\\ \\ \int ln(x)=\int 1\ast ln(x)=\int (x{)}^{\prime }ln(x)=xln(x)-\int x\ast \frac{1}{x}=x\ast ln(x)-x\end{array}$$

Ostrzeżenie

EGZAMIN Z ANALIZY

• Czas trwania: 90 min

• 1 termin na początku sesji

• 4 zadania (3 zadania-zadania + 1 teoria).

• Zadania klasyczne

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.11.md

Przez podstawienie

Podstawienie

Niech $G(y)$ będzie funkcją pierwotną funkcji $g(y)$ a $f(x)$ będzie klasy $C^1$. Wtedy $\int g(y)dy |_{y = f(x)} = \int g(y) f’(x) dx

Wskazówka

$$\begin{array}{r}\int \sqrt{1-x^2}dx\\ x=sint\\ dx=costdt\\ \int \sqrt{1-si{n}^{2}t}cost\ast dt=\\ =\int co{s}^2(t)dt=\frac{1}{2}\int 2co{s}^{2}tdt=\\ =\frac{1}{2}\int 1+cos(2t)dt=\\ =\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin(2t))=\\ \frac{1}{2}arcsin(x)+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}{I}_n=\int \frac{1}{(1+x^2{)}^n}\\ I_1=arctg(x)\\ I_n=\int \frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}dx=\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^n}-\int \frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}dx=\\ =I_{n-1}-\int \frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}{I}_n=\frac{1}{2n-2}\frac{x}{(1+x^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}{I}_{n-1}\end{array}$$

Całki funkcji wymiernych

$$\int \frac{P(x)}{Q(x)}=?$$

Należy znaleźć rozkład funkcji na ułamki proste:

f(x)	$\int f(x)dx$
$\frac{A}{x-A}$	$ln(x-A)
$\frac{A}{(x-A{)}^k}$	$\frac{-1}{x-1}....$

• $\frac{Cx-B}{(x-p{)}^2+q^2}$

• $\frac{Cx-B}{((x-p{)}^2+q^2{)}^k}$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.18.md

Całkowanie ułamków prostych

$$\frac{Ax+B}{((x-p{)}^2+q{)}^k}$$

Wskazówka

$$\begin{array}{r}\frac{x+3}{((x-2{)}^2+5{)}^2}\\ y=(x-2{)}^2+5\\ dy=2(x-2)dx\\ \frac{2(x-2)-2(x-2)+x+3}{((x-2{)}^2+5{)}^2}\end{array}$$

Informacja

Rozkładanie na ułamki proste

$$\begin{array}{r}\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}\\ 1=A(x+2)+B(x-1)\\ 1=Ax+2A+Bx-B\\ \{\begin{array}{c}A+B=0\\ 2A-B=1\end{array}\Rightarrow A=-B=\frac{1}{3}\end{array}$$

Całkowanie Funkcji typu $R(cos(x),sin(x))$

Metoda: Podstawienie $t=tg\frac{x}{2}$

$$\begin{array}{r}sin(x)=2\ast sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+t{g}^2\frac{x}{2}}\\ cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ tg(x)=\frac{2t}{1+t}\\ dt=2\frac{1}{1+t^2}dt\end{array}$$

Całki z pierwiastkiem

$$\begin{array}{r}\int \sqrt{1-x^2}dx\\ x=sin(t)\\ dx=cos(t)\\ \int \sqrt{1-si{n}^2(t)}cos(t)dt\\ \int co{s}^2(t)dt\\ \\ \\ \int \sqrt{1+x^2}dx\\ x=sinh(t)\end{array}$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.08.md

Całka Oznaczona (Rimana)

Podzielmy przedział $(a,b)$ na n części, w taki sposób.

$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }{x}_i=|X_i-X_{i-1}|\\ {\delta }_n=max(\mathrm{\Delta }x)\\ \\ s_n={\mathrm{\Sigma }}_i{n}_i\ast \mathrm{\Delta }{x}_i\\ c_n={\mathrm{\Sigma }}_i\psi (i)\mathrm{\Delta }{x}_i\\ S_n={\mathrm{\Sigma }}_{i}M\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$$

• $n_i$ to infinum funkcji w danym przedziale (najmniejsza wartość)

• $M$ to supremum funckji w danym przedziale (czyli mnożenie przez największą wartość funkcji w przedziale)

Wskazówka

$s_n$ reprezentuje sumę wszystkich prostokątów w zaokrągleniu pod wykresem, natomiast $S_n$ - wszystkich kawałkóœ zaokrąglonych do maksymalnej wartości

definicja całki oznaczonej

Jeżeli suma ${\sigma }_n$ przy dowolnym coraz róœniejszym podziale (tzn. przy ${\sigma }_n\to 0$) dąży do tej samej granicy niezależnie od wyboru punktóœ podziału ani od wyboru od wyboru punktów ${\psi }_i$ to granicę tę nazywamy Całką Oznaczoną z funkcji f w przedziale $⟨a,b⟩$ (tzw. całka Rimmana)

Oznaczenia:

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{⟨a,b⟩}f$$

Całka nie zawsze istnieje.

Całka $\mathrm{\exists }{\int }_a^b\iff s_n=S_n$

Wskazówka

f jest jednostajnie ciągła, $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0$ że jeżeli $|x-x^{\prime }|<\delta \Rightarrow f(x)-f(x^{\prime })<ϵ$

$ϵ>0$ i f jednostajnie ciągła, $x-x^{\prime }<ϵ\Rightarrow f(x)-f(x^{\prime })<\delta$

$$S_n-s_n={\mathrm{\Sigma }}_i{x}_i(M-m)<=ϵ{\mathrm{\Sigma }}_i{x}_i=ϵ(a-b)$$

Własności całki Rimmana

• spełnia zasadę liniowości (rozdzielność względem dodawania oraz mnożenia przez skalar)

• addytywność względem przedziału - jeżeli $c\in ⟨a,b⟩$ to ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$

• $m(b-a)\le {\int }_a^b\le M(b-a)$

• twierdzenie o wartośći średniej dla całęk (jeżeli f ciągła) $\mathrm{\exists }\psi \in ⟨a,b⟩\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f=f(\psi )$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.15.md

Zastosowania całek

Pole pod wykresem

Jeżeli funkcja jest całkowalna, to pole pomiędzy prostymi $a$ i $b$ wynosi ${\int }_a^{b}f(x)dx$.

Informacja

całka to nie jest pole. (e.g. ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sinxdx=0$)

pole elipsy

$$\begin{array}{r}\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1\\ y=+-\frac{B}{A}\ast \sqrt{A^2-x^2}\\ \\ P=4{\int }_0^a\frac{B}{A}\sqrt{A^2-x^2}=\pi \ast A\ast B\end{array}$$

###4 Obliczanie długości krzywej

$$\begin{array}{r}l={\mathrm{\Sigma }}_i\sqrt{(\varphi (t_i)-\varphi (t_i-1){)}^2+(\psi (t_i)-\psi (t_i-1){)}^2}=\\ =\mathrm{\Delta }{t}_i{\mathrm{\Sigma }}_i\sqrt{{\varphi }^{\prime }(u_i{)}^2+\psi ({\zeta }_i{)}^2}\\ {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}+{\psi }^{\prime 2}}dt\end{array}$$

Twierdzenie

$$\gamma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}+{\psi }^{\prime 2}}dt$$

jeżeli krzywa jest opisana równaniem

$$\gamma ={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$$

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.22.md

Krzywe Stożkowe

Te krzywe powstają poprzezs przecięcie stożka płaszczyzną.

• okrąg

• elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Mimośrodem elpisy nazywamy parametr $e=\frac{c}{a}<1$ (c to odległość ognisk od środka elipsy)

• hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ $|\left|P{F}_1\right|-\left|P{F}_2\right||=2a$

• parabola: Załóżmy ognisko $F$ i prostą $k$ nieprzechodzącą przez ten punkt. Prostą nazywamy kierownicą. $\left|PF\right|=odl(P,k)y^2=2px$

Ogólen róœnanie krzywych stożkowych: $\rho = \frac{p}{1+e*cos\phi}