Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.09.md
Matematyka 1¶
Iloczyn kartezjański:¶
iloczyn kartezjański
Funkcja¶
B
A - dziedzina funkcji
to zbiór wartości
własności funkcji¶
funkcję
nazywamy iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) jeżelifunkcję f nazywamy surjekcją (odwzorowaniem na) jeżeli
f jest bijekcją
f jest injekcją oraz surjekcją
jeżeli surjekcja
jeżeli f jest bijekcją, wtedy istnieje funkcja odwrotna
badanie własności fnkcji¶
jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w 2 lub więcje punktach to funkcja ta nie jest injekcją
jeżeli prosta (równoległa do OX) przecina wykres f w dokłądnie w 0 punktach to funkcja ta nie jest surjekcją
Ważne
prosta musi należeć do zW
Ważne
wykres funkcji
niech
składanie funkcji¶
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.15.md
Ciągi¶
Zbierzność asymptotyczna
wzór Sterlinga
$n! ~ n^n - e^{-n} \sqrt{2 \pi n}
ważne granice¶
Funkcje ciągłe¶
f jest ciągła w punkcie
Ważne
funkcja
Wskazówka
Własności funkcji ciągłych¶
Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku
niech f ciągła. Dla dowolnego punktu
Wskazówka
jeżeli f jest ciągła oraz
Twierdzenie Bezuta
jeżeli
własoność Garbouta
własnność o przyjmowaniu wartościpośrednich
dla
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.23.md
Twierdzenie o osiąganiu kresów
Jeżeli funkcja
jest ograniczona
oraz
gdziem
to kres dolny aM
to kres górny
Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej
niech funkcja
wtedy
f
jest ściśle rosnącaf
ma funkcję odwrotnąjeśli istnieje funkcja odwrotna, to jest ona również ciągła
Wskazówka
Funkcja ściśle rosnąca to taka, dla którje prawdziwe jest twierdzenie
Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej
Niec h
jest ciągła
Twierdzenie o 4 działaniach dla funkcji ciągłych
f
, g
ciągłe w D
Przykłady funkcji ciągłych¶
Informacja
Wielomiany są funkcjami ciągłymi
(funkcja odwrotna do )
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.24.md
Interpretacja krzywej¶
Opis parametryczny krzywej:
Okrąg
Elipsa
Hiperbola
Informacja
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.30.md
Różniczkowanie¶
Niech
Informacja
podejście geometryczne:
Spróbujmy znaleźć wykres stycznej do wykresu funkcji $f(x)
Sieczna - prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty należące
do wykresu funkcji
Definicja pochodnej
granicę f
w punkcie
Ważne
Interpretacja geometryczna
f
w punkcie
Przykłady funkcji pochodnych¶
Przykłady funkcji, które nie mają pochodnych¶
Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej
Jeżeli f
jest różnniczkowalna, to f
jest ciągła
Działania na pochodnych¶
Twierdzenie o różniczkowalności złożeń funkcji różniczkowalnych
Jeżeli funkcje f
i g
sa różniczkowalne, to funkcje
Wskazówka
Nie jest prawdą stwierdzenie, że “suma pochodnych jest pochodną sumy”. prawdą jest, że “suma pochodnych jest pochodną sumy Przy stosownych założeniach”.
Wskazówka
Pochodne funkcji trygonometrycznych¶
Pochodna funkcji wykładniczej¶
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.10.31.md
pochodna iloczynu
Jeżeli f, g są różniczkowalne
pochodna ilorazu
jeżeli f
i g
są różniczkowalne i
twierdzenie
jeżeli
pochodna złożenia funkcji
złożenie możliwe f
i g
są różniczkowalne, wtedy
Pochodna logarytmiczna¶
jeżeli f jest różniczkowalna i
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.06.md
Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x=0
(
Zastosowanie pochodnych¶
Maksimum lokalne
Twierdzenie o zerowaniu się pochodnych w maksimum lokalnym
Jeżeli funkcja f
jest różniczkowalna i ma w punkcie
Informacja
jeżeli f jest ciągła i różniczkowalna
Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej
f
jest ciągłaf
jest różniczkowalna
Twierdzenie Coushy’ego
f
,g
, są ciągłe $\in \left[a, b\right]f
,g
, są różniczkowalne
wtedy:
Wskazówka
g
jest różniczkowalna
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.07.md
Wnioski Tw. Lagrange’a¶
Ważne
funkcja
jeżeli
jeżeli
f jest niemalejącajeżeli
f jest nierosnąca
Twierdzenie AGH
Reguła de l’Hospitala¶
Reguła de l’Hospitala
f
, g
to funkcje różniczkowalne.
Wskazówka
Informacja
f
jest niższego rzędu (niżg
) gdyf
ig
są równego rzędu gdyjeżeli
, tof
ig
są asymptotycznie równoważne
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.13.md
Pojęcie Różniczki¶
Jeżeli f
jest różniczkowalna
Informacja
Odwzorowanie liniowe f
w punkcie
Jest to odwzorowanie takie, że
Oznaczenia¶
pochodna |
||
---|---|---|
Definicja
Funkcję nazywamy funkcją klasy k
i k
ta pochodna jest ciągła.
Wzór Taylora¶
Ostatnie równanie nazywamy Równaniem Taylora z resztą Lagrange’a
Wzór Maclaurina
Rozwinięcie |
|
---|---|
Ważne
Wskazówka
Zastosowanie wzoru Taylora do obliczeń przybliżonych:
dla x = 1, n = 6
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.14.md
Twierdzenie
Liczba
e
jest liczbą przestępną (nie jest pierwiastkiem wiielomianu o współczynnikah rzeczywistych)
Reszta Peano¶
Ekstrema lokalne¶
Informacja
Jeżeli funkcja osiąga w punkcie
Ostrzeżenie
nie oznacza to, że spełnione jest twierdzenie odwrotne
Jeżeli pochodna funkcji zeruje się, oznacza to, że punkt
Punkty podejrzane o ekstrenum znajdują się również w punktach, w których pochodna nie istnieje.
Szukanie ekstremów:
pochodna musi zmieniać znak
jeśli
f posiada minimum lokalne$druga pochodna wskazuje czy dany punkt to minimum czy maksimum
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.20.md
Zadania¶
Informacja
Z kwadratoweo arkusza blachy wycinamy 4 kwadratowe kawałki (na rogach). Z czego powstaje nam “pudełko”. Jaka największa objętość?
szukamy największą wartość funkcji w przedziale
Informacja
Wypukłość funkcji¶
f
jest wypukłą ku górze jeśli w pewnym otoczeniu
wykres f jest poniżej wykresu stycznej.
Funkcja jest wypukła ku dołowi w punkcie
Twierdzenie o wypukłości
f
klasy
Jeżeli f
wypukła ku górze
Asymptoty¶
Asymptoty to proste, do których wykres danej funkcji zbliża się dowolnie blisko.
Wskazówka
Prosta o równaniu
Prosta o równaniu
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.11.21.md
Sporządzanie wykresów funkcji¶
faza I:
“Dziedzina” funkcji
granice na krańcach (e.g. w
)punkty charakterystyczne typu
szczególne własności funkcji (np. f jest parzysta
)okresowość
szkic wykresu
poprawki na wykresie
obliczanie pochodnej funkcji (ekstrema, przegięcia, monotoniczność)
obliczanie drugiej pochodnej (badanie wypukłości, asymptoty ukośne)
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.04.md
Rachunek Całkowy¶
definicja całki
f to funkcja określona na przedziale otwartym
jeżeli F na tym samym przedziale ma pochodną i F
nazywamy funkcją pierwotną f
lub całką nieoznaczoną funkcji f
i oznaczamy
Twierdzenie o stałej całkowania
Jeżeli F
jest funkcją pierwotną f
, to f
$
Metody obliczania całek¶
Zgadywanie¶
f(x) |
|
---|---|
const |
|
$ln( |
|
$ln( |
|
$-ln( |
|
Liniowość*
Jeśli f
i g
mają funkcje pierwotne
Ważne
Operacja całkowania nie jest liniowa, ponieważ wystęþuje translacja o stałą
Ważne
niech
Informacja
przez części¶
Informacja
Ostrzeżenie
EGZAMIN Z ANALIZY
Czas trwania: 90 min
1 termin na początku sesji
4 zadania (3 zadania-zadania + 1 teoria).
Zadania klasyczne
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.11.md
Przez podstawienie¶
Podstawienie
Niech
Wskazówka
Całki funkcji wymiernych¶
Należy znaleźć rozkład funkcji na ułamki proste:
f(x) |
|
---|---|
$ln(x-A) |
|
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2023.12.18.md
Całkowanie ułamków prostych¶
Wskazówka
Informacja
Rozkładanie na ułamki proste
Całkowanie Funkcji typu ¶
Metoda: Podstawienie
Całki z pierwiastkiem¶
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.08.md
Całka Oznaczona (Rimana)¶
Podzielmy przedział n
części, w taki sposób.
to infinum funkcji w danym przedziale (najmniejsza wartość) to supremum funckji w danym przedziale (czyli mnożenie przez największą wartość funkcji w przedziale)
Wskazówka
definicja całki oznaczonej
Jeżeli suma f
w przedziale
Oznaczenia:
Całka nie zawsze istnieje.
Całka
Wskazówka
f jest jednostajnie ciągła,
Własności całki Rimmana¶
spełnia zasadę liniowości (rozdzielność względem dodawania oraz mnożenia przez skalar)
addytywność względem przedziału - jeżeli
totwierdzenie o wartośći średniej dla całęk (jeżeli f ciągła)
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.15.md
Zastosowania całek¶
Pole pod wykresem¶
Jeżeli funkcja jest całkowalna, to pole pomiędzy prostymi
Informacja
całka to nie jest pole. (e.g.
pole elipsy
###4 Obliczanie długości krzywej
Twierdzenie
jeżeli krzywa jest opisana równaniem
Notatki z pliku notes/01matematyka1/matematyka_2024.01.22.md
Krzywe Stożkowe¶
Te krzywe powstają poprzezs przecięcie stożka płaszczyzną.
okrąg
elipsa
. Mimośrodem elpisy nazywamy parametr (c to odległość ognisk od środka elipsy)hiperbola
parabola: Załóżmy ognisko
i prostą nieprzechodzącą przez ten punkt. Prostą nazywamy kierownicą.
Ogólen róœnanie krzywych stożkowych: $\rho = \frac{p}{1+e*cos\phi}