---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2023.10.19.md

Matematyka 1 - ćwiczenia

Wzór sterlinga

\(n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2023.11.30.md

Przydatne własności

Wskazówka

Przy wistępowaniu nioznaconości typu \([0 * \infty]\) wystarczy iloczyn zapisać w postaci ilorazu na przykład

\[ \lim_{x \to 0} x * \left(\frac{1}{x}+1\right) = \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x}} \]

W ten sposób otrzymamy nieoznaczoność typu \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) więc możemy skorzystać z reguły de l’Hospital’a

Przykładowa tabela przebiegu zmienności funkcji:

	\((-\infty, -1)\)	\(-1\)	\(\left(-1, -\frac{2}{5} \right)\)	\(-\frac{2}{5}\)	\(\left(\frac{-2}{3}, 0\right)\)	0	\((0,2)\)	2	\((2, \infty)\)
\(f'(x)\)	+	0	-	-	-	X	-	0	+
\(f''(x)\)	-	-	-	0	+	X	+	+	+
\(f(x)\)	rośnie	max \(e^{-1}\)	maleje	PP \(\frac{8}{5}e^{-\frac{5}{2}}\)	maleje	X	maleje	min \(4 \sqrt{e}\)	rośnie

Triksy

Ważne

Równość:

\[ \root{3} \of {x} = x^{\frac{1}{3}} \]

jest prawdziwa tylko dla \(x \geq 0\) ponieważ:

\[\begin{split} \root {3} \of {x} = x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{6}} = \root {6} \of {x^2} \\ \end{split}\]

Przykładowo dla \(x = -1\)

\[\begin{split} \root{3} \of {-1} = -1 \\ \root{6} \of {(-1)^2} = 1 \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2024.01.03.md

Całki - Istotne wzory / wyprowadzenia

• Wzór redukcyjny (na \(sin^nx\))

\[ \int sin^n x = -\frac{sin^{n-1}x * cos~x}{n} + \frac{n-1}{n} \int sin^{n-2}x dx \]

Wyprowadzenie

\[\begin{split} \int sin^nx = \\ = \int sin^{n-1}x* sin~x = \\ \left|\begin{matrix} u = sin^{n-1}x && v' = sin~x \\ u' = (n-1)sin^{n-2}x cos~x && v = -cos~x \\ \end{matrix}\right| = \\ = - sin^{n-1}x * cos~x + (n-1)\int sin^{n-2} cos^2x = \\ = - sin^{n-1}x * cos~x + (n-1)\int sin^{n-2}x (1- sin^2x) dx = \\ = - sin^{n-1}x * cos~x + (n-1)\int sin^{n-2}x - (n-1) \int sin^nx \\ \\ n \int sin^n x dx = - sin^{n-1}x * cos~x + (n-1)\int sin^{n-2}x dx \\ \int sin^n x dx = -\frac{ sin^{n-1}x * cos~x}{n} + \frac{n-1}{n}\int sin^{n-2}x dx \\ \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md

• Podstawienia dla funkcji niewymiernych:

typ funkcji	podstawienie za x
\(R(x, \sqrt{a^2 - x^2})\)	\(a * sin~t\)
\(R(x, \sqrt{a^2 + x^2})\)	\(a * tg~t\)
\(R(x, \sqrt{x^2 - a^2})\)	\(\frac{a}{cos~t}\)

Wskazówka

Najważniejsze wzory dla funkcji cyklometrycznych

\[\begin{split} sinh~x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ cosh~x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \\ sinh~2x = 2*sinh~x * cosh~x \\ cosh~2x = sinh^2 x + cosh^2x \\ 1 = cosh~x - sinh~1 \end{split}\]

• Podstawienia uniwersalne dla funkcji trygonometrycznych:

\(tg \frac{x}{2}\)	\(cos~x\)	\(sin~x\)	\(dx\)
\(t\)	\(\frac{1-t^2}{1+t^2}\)	\(\frac{2t}{1+t^2}\)	\(\frac{2}{1+t^2} dt\)

\(tg~x\)	\(cos^2x\)	\(sin^2 x\)	\(dx\)
\(t\)	\(\frac{1}{1+t^2}\)	\(\frac{t^2}{1+t^2}\)	\(\frac{1}{1+t^2}\)

• Wzór obniżający potęgę \(sin^2x\)

\[ sin^2x = \frac{1 - cos2x}{2} \]

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2024.01.17.md

Całki Rimmana - tricki / przydatne wzory

Oto definicja całki oznaczonej:

\[ \int_a^b = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{b-a}{n} * \sum_{i=1}^n f(a + i\frac{b-a}{n})\right] \]

Wskazówka

Ta funkcja oznacza po prostu pocięcie “pola figury” ograniczonej funkcją f na małe prostokąty, zbudowanie z nich “wieży” o podstawie \(\frac{b-a}{n}\) i wysokości \(\sum...\) i obliczenie jej pola jako pola prostokąta

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2024.01.25.md

Objętość bryły utworozonej przez krzywą obracaną wokół osi OX: \(|V| = \pi \int_a^b f^2(x)dx\)

Pole powierzchni figury utworzonej poprzez obrut prostej f(x) wokół osi x \(|S| = \int_a^b f(x) * \sqrt{1+f'(x)^2}\)

---

Notatki z pliku notes/01matematyka1_cw/matematyka_cw_2024.01.27.md

Granice: - Tricki

Symbole Nieoznaczone czyli co z tym robić?

\(0 * \infty\)

\[ \left[0 * \infty\right] = \left[\frac{0}{\frac{1}{\infty}}\right] = \left[\frac{0}{0}\right] \]

Teraz można użyć twierdzenia de l’Hospital.

Dowód:

\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} n \frac{1}{n^2} \stackrel{\left[0 * \infty\right]}{=} 0 \\ \lim_{n \to \infty} n^2 \frac{1}{n} \stackrel{\left[0 * \infty\right]}{=} \infty \\ \end{split}\]

\(\infty - \infty\)

Dowód:

\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} n - n^2 \stackrel{\left[\infty - \infty\right]}{=} \lim_{n\to \infty} n^2(\frac{1}{n} - 1) = - \infty \\ \lim_{n \to \infty} n^2 - n \stackrel{\left[\infty - \infty\right]}{=} \lim_{n\to \infty} n^2(1-\frac{1}{n}) = \infty \\ \end{split}\]

\(\frac{\infty}{\infty}\) i \(\frac{0}{0}\)

Dowód analogiczny jak powyżej. Aby rozwiązać korzystamy z twierdzenia de l’Hospital’a