---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.10.09.md

ALGEBRA

Zestaw 1 zadanie 5

Korzystając z zas. indukcji udowodnij że: dla dowolnego \(n \in \mathbb{N}, n \geq 4\) liczba diagonalnych w n-koncie wypukłym jest niewiększa niż \(\frac{1}{2} n(n-3)\)

• utworzenie wzoru na liczbę diagonalnych

  • dla 4-kątu jest to 1

  • dla 5-kątu - 2

  • dla 6-kątu - 3

z tego wniosek, że liczba diagonalnych \(d = n-3\)

• sprawdzenie warunku dla ~ n = 4

\[\begin{split} n-3 \leq \frac{1}{2} n (n - 3)\\ dla ~ n = 4\\ 1 \leq 2 * 1 \end{split}\]

• krok indukcyjny

\[\begin{split} załóżmy, że: \\ \frac{1}{2}n (n-3) \geq n-3 \\ n (n-3) \geq 2n-6 \\ n^2 - 3n \geq 2n-6 \\ n^2 - 5n + 6 \geq 0 \\ wtedy~dla~n+1:\\ \frac{1}{2}(n+1)(n-2) \geq n-2 \\ n^2-n-2 \geq 2n-4 \\ n^2-3n+2 \geq 0 \\ (n^2-5n+2) + (2n - 4) \geq 0\\ \begin{matrix} (n^2-5n+2) & + & (2n - 4) & \geq 0\\ z~ind~mat. & & \forall n \geq 4 2n - 4 \geq0 & \end{matrix} \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.10.10.md

Ciało liczb zespolonych

• w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych nie można ich przedstawić w postaci linearnej

• dlatego też nie można powiedzieć że dana liczba jest ujemna/dodatnia

• liczba zespolona to para

• \(i^2 = -1\)

Dzielenie

Przy dzieleniu liczb zespolonych należy pomnożyć przez czynnik sprzężony (tak jak usuwanie niewymierności z mianownika)

Sprzężenie

Sprzężenie liczby zespolonej \(z\) określamy jako \(\bar{z}\).

\[\begin{split} niech~z \in \mathbb{C} \\ x, y \in \mathbb{R} z = x + y~i \\ \bar{z} = x - y~i \end{split}\]

moduł liczby zespolonej

Utożsamiany z długością wektora będącego interpretacją liczby urojonej. niech \(z = (x, yi)\)

\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Informacja

\(|z|\) określamy również jako \(r\)

Postać trygonometryczna liczyb zespolonej

\[\begin{split} niech~z = x + yi \neq 0 \\ z = |z|(\frac{x}{|z|}+\frac{y}{|z|})\\ \exists \phi ~ cos \phi = \frac{x}{|z|} \land sin \phi = \frac{y}{|z|} z = |z|(cos \phi + i * sin \phi) \end{split}\]

\(arg z\) to tzw. argument główny gdzie \(argz \in [0, 2 \pi]\)

potęgowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej

Wzór de Moivre’a $\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} (cos(\alpha - \beta) + i sin(\alpha - \beta)) \\ z^n = |z|^n (cos n \phi + i * sin n \phi) \)$

postać wykładnicza

\[ e^{i \phi} = cos \phi + i sin \phi \]

Sprzężenie w postaci wykładniczej

niech \(z \in \mathbb{C}\)

\[ z = |z|e^{i\phi} \Leftrightarrow \bar{z} = |z|e^{-i\phi} \]

\[ z_k = \root{n} \of{r}(cos \frac{\phi + 2k \pi}{n} + i ~ sin\frac{\phi + 2k \pi}{n} ~~ k = 0 , 1 ... n \]

Ważne

Pierwiastek n stopnia ma n rozwiązań

zasadnicze twierdzenie algebry

Każdy wielomian dodatniego stopnia ma rozwiązania w \(\mathbb{C}\)

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md

Zestaw 2 zadanie 4, przykład a

Równanie jest spelnione dlz \(z = 0\)

\[\begin{split} z^2 + 3 \bar{z} = 0 \\ z^2 = -3 \bar{z} \\ |z|^2 e^{2i\phi} = -3 |z|e^{-i\phi} \\ |z| e^{3i\phi} = -3 \\ |z| e^{3i\phi} = -3 e^{2k\pi i} \\ \\ |z| = -3 \\ 3 i \phi = 2k \pi i \\ \phi = \frac{2k \pi}{3} ~ ~ k \in [0, 2] \cap \mathbb{Z} \\ z = -3 \lor z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3} i \lor z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3}i \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.10.17.md

Macierze

Oznaczenie: \(M_{m \times n} (K)\) gdzie

• m, n - wymiary macierzy

• K - ciało na którym określamy macierz

Informacja

Dwie macierze są równe gdy ich wymiary są równe oraz wszystkie wartości są równe

Wskazówka

Macierzą kwadratową nazywamy macierz, w której \(m=n\)

Macierz zerowa

to taka macierz \(0_{m \times n}\) gdzie wszystkie elementy są równe 0

Macierz diagonalna

Macierz, w której niezerowe elementy leżą jedynie na przekątnych

Działania na macierzach

• Dodawanie (i odejmowanie) macierzy których wyrazy są równe wykonujemy poprzez dodawanie odpowiednich wyrazów

• Mnożenie przez liczbę - każdy wyraz macierzy mnożymy przez liczbę

• transponowanie - wiersze zmieniają się na kolumny

• mnożenie macierzy przez macierz macierz A musi mieć tyle samo kolumn co wierszy

Własności działań

Informacja

działania są dziedziczone ze zbioru \(\mathbb{R}\)

• składanie odwzorowań jest łączne, ale nie przemienne Macierz diagonalna jednostkowa jest elementem neutralnym. Na przykład

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \end{split}\]

• transponowanie:

\[ (A^T)^T = A \]

Ważne

\[ (AB)^T = B^T A^T \]

Suma elementów na przekątnych

\[\begin{split} tr \begin{vmatrix} \bf{1}&0&0 \\ 2&\bf{-7}&2 \\ 0&1&\bf{3} \end{vmatrix} = 1-7+3 = -3 \end{split}\]

tr to ślad macierzy - suma elementów na przekątnej

Macierze symetryczne i antysymetryczne

Twierdzenie

każdą macierz kwadratową można rozbić na dwie macierze, z których jedna jest symetryczna, a druga antysymetryczna

Wyznacznik macierzy

Definicja

wyznacznik to liczba \(detA\) taka, że:

• dla n = 1 \(detA = a_11\)

• dla \(n \geq 2\) \(\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} * a_ij * detA_ij gdzie \)detA_ij$ to wyznacznik (tzw. minor) macierzy powstałej po skreśleniu i-ego wiersza i j-tej kolumny

\(detA = detA^T\)

Wskazówka

dla macierzy trujkątnych górnych i dolnych detA to iloczyn elementów na przekątnej

zmiany na macierzy nie zmieniające wyznacznika

• \(detA = detA^T\)

• jeżeli w jednej kolumnie są same 0, detA = 0

• \(det(nA) = n * detA~ n\in \mathbb{R}\)

• dla \(A = B+C\) $detA = detB + detC

• po zmianie kolumn miejscami wyznacznik zmieni znak

• jeżeli dwie kolumny są proporcjonalne detA = 0

• jeżeli kolumna jest kombinacją liniową pozostałych detA = 0

• do kolumny można dodać kombinację liniową pozostałych co nie zmieni wyznacznika

Macierz odwrotna

macierze kwadraowe

\[\begin{split} \exists A^{-1} ~ A * A^{-1} = I \\ \end{split}\]

Informacja

macierz osobliwa jeżeli detA = 0

Informacja

Macierz jest odwracalna jeżeli jest niosobliwa

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.10.24.md

Ważne

Macierze odwracalne tworzą grupę (tzw. grupę liniową)

Obliczanie macierzy odwrotnej

• metoda dopełnień algebaicznych

  • możemy ją obliczyć tylko gdy \(detA \neq 0\)

  • \(a_ij = (-1)^{i+j} * m_{ij}\)

  • tak powstałą macierz transponujemy i kążdy element mnożymy przez \(\frac{1}{detA}\)

• metoda operacji elementarnych (bezwyznacznikiowa)

  • zestawienie macierzy blokowej z macierzy A i macierzy jednostkowej

  • jeżeli macierz A uda się sprowadzić do macierzy jednostkowej, to druga część bloku będzie macierzą odwrotną \(A^{-1}\)

Algorytm gausa

• korzystając z operacji elementarnych uzyskać macierz trujkątną górną przemieszczając się od lewego górnego rogu macierzy

• zerowanie od prawej na lewą stronę

Własności macierzy odwrotnej

• \(detA = \frac{1}{detA^{-1}}\)

• \((A^{-1})^{-1} = A\)

• \((A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\)

• \((\alpha A)^{-1} = \frac{1}{\alpha} A^{-1}\)

• (AB)^-1 = B^{-1} A^{-1}$

Układy równań liniowych

Układ równań liniowych można zapisać jako \(A * X = B\)

Układ równań

układy crammerowskie

są to takie układy, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań

• Macierz A jest kwadratowa

• \(x = \frac{W}{W_x}\) …

• jeśli W = 0 układ nie jest oznaczony

• jeśli macierz nie jest kwadratowa należy wykorzystać rząd macierzy

  • rząd to największy stopień niezerowego minora

Wyznaczanie rzędu

• sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej

• rząd macierzy to ilość “schodów”

Rozwiązywanie układów równań \(m \neq n\)

• układ jest sprzeczny jeżei rząd macierzy jest rożny od rzędu macierzy uzupełnionej

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.10.31.md

Działania elementarne, które nie zmieniają rozwiązań

• skreślenie wiersza z samych zer

• skreślenie jednego z wierszy proporcjonalnych

• mnożenie wiersza przez dowolną stałą niezerową

• przestawienie kolumn

Wskazówka

Rząd macierzy (układu równań) informuje ile niewiadomych można z danego układu wyliczyć

Geometria Analityczna

Wektory

wektor możemy oznaczac jako \((x, y, z): x, y, z \in \mathbb{R}\)

Informacja

Wektor od ługości 1 nazywamy wersorem.

Kąty kierunkowe to kąt między osią a wektorem.

Cosinus kierunkowy to stosunek \(cos \alpha = \frac{u_x}{|\vec{u}|}\)

Dla wersorów cosinusy kierunkowe to współrzędne wektora.

Działania na wektorach

Odniesienie

• iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania

• iloczyn mieszany \((\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})\)

Płaszczyzny w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\)

Równanie płaszczyzny

\[\begin{split} \pi : \left\{ \begin{matrix} x = x_0 + t * a_x + s * b_x \\ y = y_0 + t * a_y + s * b_y \\ z = z_0 + t * a_z + s * b_z \\ \end{matrix} \right. \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.11.07.md

Przestrzenie wektorowe

Przestrzeń Wektorowa

(K, +, C, \(*\)) jest grupą abelową, natomiast V zbiorem (\(V \neq \emptyset\)).

• (V, +) jest grupą abelową

• \(\forall v, v \in V \quad \forall \alpha \in K \quad \alpha * (v + v) = (\alpha * v) + (\alpha * v)\) (występuje rozdzielność mnożenia względem dodawania w mnożeniu sumy wektorów przez skalar)

• \(\forall v \in V \quad \forall \alpha, \beta \in K \quad (\alpha + \beta) * v = (\alpha * v) + (\beta * v)\) (występuje rozdzielność mnożenia względem dodawania w mnożenia sumy skalarów przez wektor)

• \(\forall v \in V \quad \forall \alpha, \beta \in K \quad \alpha * (\beta * v) = (\alpha * \beta) * v\) (mnożenie wektora i skalarów jest łączne)

• \(\forall v \in V \quad 1 * v = v\) (występuje element neutralny)

• możliwe jest mnożenie przez skalar

Wskazówka

Elementy zbioru V nazywamy wektorami, a K - skalarami

Informacja

Zbiór \((\mathbb{R}^2, +, \mathbb{R}, *)\) to tradycyjny zbiór wektorów na płaszczyźnie dwuwymiarowej. \(V = \mathbb{R}^2\) określa dwa wymiary palszczyzny a \(K = \mathbb{R}\) to ciało (zbiór) tzw. skalarów.

Podprzestrzenie liniowe

Zbiór \(U\) nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V gdy działania zadeklarowane dla te podprzestrzeni są w niej wewnętrzne.

Informacja

Innymi słowy aby sprawdzić czy dany zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni V dla dla dwuch wektorów \(v_1 i v_2 \in V\) oraz skalara \(\alpha\)

\[ v_1 + v_2 \in V' \land \alpha v_1 \in V' \]

Ważne

0 musi należeć do podprzestrzeni

\[\begin{split} niech~(\mathbb{R^3}, +, \mathbb{R}, *) \\ -1 * v_1 = -v_1 \in \mathbb{R}^3 \\ v_1 - v_1 = 0 \\ \end{split}\]

Wskazówka

Jeżeli w definicji przestrzeni występuje translacja (dodanie stałej) przestrzeń ta nie jest podprzestrzenią przestrzeni V.

\[\begin{split} V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\ U = \left\{(x + 1, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right\} \\ \\ x_1 + 1 + x_2 + 1 = (x_1 + x_2) + 2 \neq (x_1 + x_2) + 1 \\ \\ V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\ U = \left\{(2x, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right\} \\ \\ 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) \\ \alpha 2 x_1 + \alpha 2 x_2 = \alpha 2 (x_1 + x_2) \end{split}\]

Analogicznie można postępować dla innych wyrazów.

Liniowa zależność wektorów

liniowa zależność wektorów

Wektory są liniowo niezależne gdy żadnego z nich nie można przedstawić w formie kombinacji liniowej pozostałych.

Przykładowo \(v = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3\) nie jest liniowo niezależny.

Biorąc pod uwagę inny przykład:

\[\begin{split} v = (5, 4, -18) \\ v = 5 \hat{i} + 4 \hat{j} - 18 \hat{k} \\ gdzie:\\ \hat{i} = (1, 0, 0) \\ \hat{j} = (0, 1, 0) \\ \hat{k} = (0, 0, 1) \\ \end{split}\]

Wskazówka

To tak jak w macierzach, gdzie jeden z rzędów można wyzerować za pomocą innych.

Informacja

Aby sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne budujemy macierz z wektorami wpisanymi w kolumny (tak aby poróœnywać x-owe współrzędne e.t.c.) i przyrównujemy do (0,0,…,0) i obliczamy jej rząd.

Generatory

Zbiór generatorów to zbiór wektorów pozwalających na zapisanie każdego innego wektora w danej podprzestrzeni.

\[ v = \alpha w_1 + \beta w_2 + ... + \theta w_n \]

• zbiór generatorów oznaczamy jako \(W\)

• natomiast generowaną przez nie podprzestrzeń \(limW\)

Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni \(\mathbb{R}^n\)

Wektory \(v_1, v_2, ..., v_k\) generują przestrzeń \(\mathbb{R}^n\) (o n wymiarach) \(\Leftrightarrow\) \(rowA\) (rząd macierzy A) jest równy n. Macierz A to taka macierz, która składa się w kolejno wpisanych w wierszach wektorach v.

Wskazówka

\(k \geq n\) tzn. że generatorów może być więcej niż wymiarów przestrzeni, jednak jeżeli tak jest oznacza to że kilka z nich (\(k-n\)) jest liniowo zależnych.

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.11.14.md

podzbiorami przestrzeni wektorowych \(\mathbb{R}^2\) i \(\mathbb{R}^3\) są:

• proste

• płaszczyzny

kombinacja zerowa

\[ a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n = 0 \]

Powłoka liniowa

\[ \left\{v = a_1 v_1 + ... + a_k v_k~:~v_1...v_k \in V \quad a_1...a_k \in A\right\} \]

Jest podprzestrzenią

Baza

Układ wektorów (generatorów) można nazwać bazą, jeżeli:

• są niezależne liniowo

• generują przestrzeń wektorową

Baza

Podsumowując: układ n wektorów-generatorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej jest bazą

Ważne

przestrzeń \(\left\{\bf{0}\right\}\) nie posiada bazy.

Wskazówka

Najprostszą bazą przestrzeni 3-wymiarowej jet układ wersorów \((\hat{j}, \hat{k}, \hat{l})\)

Reper Bazowy (aka Baza uporządkowana)

To uporządkowany ciąg wektorów bazowych.

Wymiar przestrzeni wektorowej V

To liczba eleentów bazy i oznaczamy \(dimX\) gdzie X to przestrzeń.

Informacja

\(dim{0} = 0\)

Wskazówka

Wymiar podprzestrzeni jest mniejszy niż wymiar przestrzeni wyjściowej. Jeżeli \(dimV = dimW \Rightarrow W = V\)

Wskazówka

Współrzędnymi wektora nazywamy skalary \(v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\) i zapisujemy jako \(v = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]_B\)

Macierz Przejścia

Informacja

Oznaczenie: \(P_{B \to B'}\)

Macierz przejścia

Wektor v należy do przestrzeni liniowej V.

W bazie B można zapisać go jako \(v = [x_1, x_2, ..., x_n]_B\) natomiast w bazie \(B'\): \(v = [x_1', x_2', ..., x_n']_{B'}\)

W takim przypadku macierz przejścia można powiązać z wektorami w poszczególnych bazach jako: \(\bf{X = P_{B \to B'} X'}\).

X to wypisane w jdenej kolumnie współrzędne w bazie B a \(X'\) - w bazie \(B'\).

\[\begin{split} X = \begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{Bmatrix} \quad X' = \begin{Bmatrix} x_1' \\ x_2' \\ ... \\ x_n' \end{Bmatrix} \end{split}\]

\(P_{B \to B'}\) to obraz azy \(B'\) w bazie \(B\)

\[\begin{split} P_{B \to B'} = \begin{Bmatrix} b_{1_1} & b_{1_2} & ... & b_{1_n} \\ b_{2_1} & b_{2_2} & ... & b_{2_n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{n_1} & b_{n_2} & ... & b_{n_n} \\ \end{Bmatrix} \end{split}\]

Twierdzenie o N-Bazach

załóżmy że \(B~B'~i~B''\) to bazy przestrzenii V.

• \(P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}\)

• \(P_{B \to B''} = P_{B \to B'} * P_{B' \to B''}\)

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.11.21.2023.md

• baza - zbiór wekorów liniowo niezależnych generujących przestrzeń

• wymiar - liczność bazy

aby przedstawić wektor w bazie kanonicznej w innej bazie należy rozwiązać układ równań (\(b_1' = \alpha~b_2' = \beta\))

Macierz Przejścia

niech \(b_1, b_2...\) - stara baza i \(b_1', b_2' ....\) nowa baza.

Wektory ze starej bazy można przedstawić jako kombinacje współrzędnych z nowej bazy oraz wypisac w macierzy w kolumnach. Następnie należy znaleźć macierz odwrotną.

• \(P_{B\to B'} = (P_{B'\to B})^{-1}\)

• \(P_{B \to B'} * P_{B' \to B''} = B_{P \to B''}\)

Odwzorowania Liniowe

• Załóżmy dwie przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem

• morfizm przestrzeni liniowych (odwzorowanie liniowe) zachodzi jeżeli zachodzi odwzorowanie działań w tych przestrzeniach

\[\begin{split} \phi(\alpha x) = \alpha \phi(x) \\ \phi(x_1 + x_2) = \phi(x_1) + \phi(x_2) \end{split}\]

Ważne

Jeżeli występuje translacja (dodanie stałęj) odwzorowanie nie jest liniowe (nie spełnia warunku addytywności).

Wskazówka

operator różniczkowania \(\frac{dy}{dx}\) jest odwzorowaniem liniowym

Informacja

Przy odwzorowaniu liniowym \(0 \to 0\)

• odwzorowanie może być surjekcją (tożsamość obu zbiorów) (epimorfizm)

• aby sprawdzić czy odwzorowanie jest injekcją można sprawdzić czy \(0 \to 0\)

Wskazówka

Zbiór wszystkich odwzorowań liniowych V w W oznaczamy przez \(Hom_k(V, W)\)

Ważne

Jezeli w liniowym występuje translacja nie jest ono liniowe.

\[\begin{split} \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R},~\phi(x) = ax + b \\ \end{split}\]

Niech \(x_1 = 1 \land x_2 = 2\) wtedy:

\[\begin{split} \begin{matrix} \phi(1+2) = a(1 + 2) + b = 3a + b \\ \phi(1) + \phi(2) = a + b + 2a + b = 3a + 2b \end{matrix} \Rightarrow \phi(1+2) \neq \phi(1) + \phi(2) \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.11.28.2023.md

Wskazówka

Aby obraz wektorów liniowo niezależnych był liniowo niezależny odwzorowanie musi być injektywne.

Na przykład rzutowanie \(\mathbb{R}^3\) na płaszczyznę \(OY\)

Informacja

macierz reprezentuje odwzorowanie liniowe

• dodawanie macierzy reprezentuje dodawanie odwzorowań

• natomiast mnożenie macierzy to składanie

Reprezencacja macierzowa odwzorowań liniowych

Macierz której kolumny nsą obrazami wektorów bazowych nazywamy reprezentacją macierzową odwzoorowania liniowego

Jądro

Przeciwobraz wszystkich elementów które przechodzą na 0.

Obliczamy Je następująco: \(\phi(x) = 0\)

Przykładowo

\[\begin{split} \text{dla v w postaci}~v=(x,y,z) \\ \phi(v) = (2x, y, x+y) \\ \phi(v) = 0 \\ (2x, y, x+y) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \land y = 0 \Rightarrow z \in \mathbb{R} \\ ker\phi = \left\{(0,0,z), z \in \mathbb{R}\right\} \\ dimKer\phi = 1 \end{split}\]

Przeciwobraz - elementy które “podajemy” do odwzorowania (jak dziedzina funkcji)

Wskazówka

\[\begin{split} \begin{matrix} \text{przeciwobraz} &=& \text{Dziedzina} \\ \text{Obraz} &=& \text{Zbiór Wartości} \end{matrix} \end{split}\]

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.12.05.md

Endomorfizmy

Endomorfizm

Odwzorowanie liniowe jednego zbioru na ten sam zbiór.

Informacja

Zbiór wszystkich endomorfizmów ma strukturę przestrzeni wektorowej

\(\phi\) niezmiennicza

jeżeli u jest podzbiorem V, dla \(x \in u\) \(\phi(x) \in u\)

wartość włąsna

Liczba \(\lambda\) jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor v, który spełnia równość \(\phi(v) = \lambda v\)

Informacja

Zbiór wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora

Operator rzutowania

Określea wszystkie wektory które po zrzutowaniu na oś OX nie zmieni kierunku (lub stanie się punktem)

\[\begin{split} spec = ? \\ \phi(0, V_y) = (0, v_y) \Rightarrow \lambda = 1 \\ \phi(0, v_y) = (0, 0) \Rightarrow \lambda = 0 \\ spec = \left \{0, 1\right\} \\ \end{split}\]

Szukanie wartości własnych

\[ x_\phi(t) = det(A-tI) \]

Ważne

Nie wszystkie pierwiastki ww. równania są pierwiastkami charakterystycznymi. Należy pamiętać, że \(t = \lambda \in K\), gdzie K to ciało nad którym pracujemy

Informacja

Wielomiany włąsne nie zależą od bazy

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2023.12.12.md

Własności spektrum

• spec(A) = spec(A^T)

• spec(A^n) = spec(A)^n

• \frac{1}{\lambda} = spec(A^{-1})

Kiedy można dokonać diagonalizacji macierzy odwzorowania?

Jeżeli wszystkie pierwiastki wielomianu (z któ©ego szukamy wartości włąsnych) są krotności 1.

Inaczej musi istnieć baza z wektoróœ własnych.

Informacja

macierze reprezentujące to samo odwzorowanie w różnych bazach są do siebie podobne

Schemat rozwiązywania zadań:

• załóżmy, że mamy dane odwzorowanie.

Wskazówka

Jeżeli odwzorowanie mamy zadane w następujący sposób:

\[\begin{split} \phi(1, 0, 0) = (1, 0, 0) \\ \phi(0, 1, 1) = (0, 2, 2) = 2 * (0, 1, 1) \\ e.t.c. \end{split}\]

Oznacza to że mamy zadane już wektory/wartości własne w tym przypadku:

\[\begin{split} \begin{matrix} \lambda_1 = 1 && v_1 = (1, 0, 0) \\ \lambda_2 = 2 && v_2 = (0, 1, 1) \end{matrix} \end{split}\]

• Najpierw należy skonstruować macierz odwzorowania

• teraz od wszystkich elementów na diagonali macierzy odejmujemy \(t\) (bądź \(\lambda\) - ja przyjmuję tutaj \(t\) dla kompatybilności z panią dr)

Wskazówka

Jeżeli macierz ma postać trujkątną, można pominąć ten i następny krok przyjmując za \(\lambda\) elementy na diagonali.

• Obliczamy wyznacznik z którego później wyliczamy wartości \(t\).

Ważne

Należy pamiętać o możliwych wartościach \(t\) (\(\mathbb{R}\) czy \(\mathbb{C}\))

Ważne

Jeśli wyszło nam w sumie (licząc krotności) mniej \(\lambda\) nniż wynika z wymiaru przestrzeni (na przykład część rozwiązań wyszła urojona i nie było to dopuszczone) macierz NIE jest diagonalizowalna.

Spektrum

Otrzymane wyniki nazywamy spektrum odwzorowania.

Spektrum proste

Jeżeli wszystkie \(t\) są jednokrotnymi rozwiązaniami równania, i jest ich dokładnie tyle co wymiar przestrzeni, to mamy do czynienia ze spektrum prostym - pomiń następny krok (jeżeli zadanie tego nie wymaga)

• Obliczanie wektorów Własnych. Aby to zrobić rozwiązujemy następujące równanie:

\[\begin{split} \phi(v) = \lambda v \\ A * v = \lambda * I * v \\ (A - \lambda * I) * v = 0 \end{split}\]

Gdzie: \(A\) to macierz odwzorowania, \(\lambda\) to dana wartość \(t\) a \(v\) to szukany wektor własny

Ważne

jeśli \(\lambda\) jest n-krotna należy sprawdzić następujący warunek: \(n = dim E_{\lambda} = dim A - Row(A-\lambda I)\) Jeżeli warunek nie jest spełniony - macierz nie jest diagonalizowalna.

• Teraz nowa macierz tego przekształcenia to

\[\begin{split} \begin{Bmatrix} \lambda_1 && 0 && ... && 0 \\ 0 && \lambda_2 && ... && 0 \\ ... && ... && ... && ... \\ 0 && 0 && ... && \lambda_n \end{Bmatrix} \end{split}\]

A więc macierz ze współczynnikami \(\lambda\) na diagonali.

Informacja

Nowa macierz odwzorowania zapisana jest dla bazy złożonej z wektorów własnych!

Wskazówka

załużmy wektor \(v\) w bazie kanonicznej. Aby przekształcić go taką macierzą diagonalną należy:

• Pomnożyć lewostronnie wektor przez macierz przejścia (złożoną z wektorów nowej bazy - wektorów własnych)

\[ P_{B_k \to B} * v \]

• Pomnożyć lewostronnie przez nową macierz diagonalną \(D\)

\[ D * P_{B_k \to B} * v \]

• na koniec można powrócić do bazy kanonicznej

\[ P_{B_k \to B}^{-1} * D * P_{B_k \to B} * v \]

Wskazówka

Wizualizacja graficzna!

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2024.01.07.md

Przestrzenie euklidesowe

Przestrzeń euklidesowa

to po prostu w dziwny sposób powiedziane “Iloczyn Skalarny”.

To tak aprzestrzeń wektrowoa, nad któ©ą zdefiiowano iloczyn skalarny.

Oznaczenie: \(\mathbb{E}^n\) to \(\mathbb{R}^n\) ze zdefiniowanym standardowym iloczynem skalarnym.

Informacja

standardowy iloczyn skalarny to funkcja zefiniwoana w następujący sposób

\[\begin{split} u = (u_0, u_1, ... u_n) \\ w = (w_0, w_1, ... w_n) \\ s(u, w) = u \dot w = \Sigma_{i=0}^{n} u_i * w_i \end{split}\]

Norma

Norma to dziwna nazwa na “długość wektora”

oznaczenie: \(||v||\)

Informacja

• Norma spełnia zasadę liniowości

• \(||v|| = 0 \Leftrightarrow v = \bf{0}\)

• \(||\alpha v|| = |\alpha| * ||v||\)

Przestrzeń wektorową ze zdefiniowaną normą nazywamy Przestrzenią Unormowaną

Wskazówka

Jeżeli znamy iloczyn wektorowy możemy od razu zdefiniować normę. Określamy ją następującym wzorem:

\[ ||v|| = \sqrt{s(v, v)} \]

Obrazowo:

• iloczynn skalarny \(v \dot v\) lub \(s(v, v)\) to po prostu z definicji iloczynu skalarnego długość \(v\) pomnożona przez rzut \(v\) na \(v\) czyli po prostu długość \(v\) podniesiona do kwadratu

• gdy nałożymy na to pierwiastek otrzymamy długość \(v\)

Wektor unormowany

Również znany jako wersor.

Jesto to wektor w przestrzeni V którego norma wynosi 1

Wskazówka

Każdy wektor z przestrzeni euklidesowej można unormować.

\[ \hat{v} = \frac{v}{||v||} \]

Znając powyższe zależności można określić miarę kąta między wektorami.

\[ cso \angle (u, v) = \frac{u \dot v}{||u|| * ||v||} \]

Ważne

To wszystko nie ma sensu dopuki togo nie zobaczysz, więc polecam

Wskazówka

W przypadku ww. zależnośći warto rozważyć dwa skrajne przypadki:

• jeżeli wektory są współliniowe, to długość rzutu u na v ma długość całego u, więc $\(\frac{\cancel{||u|| * ||v||}}{\cancel{||u||*||v||}} = 1 \Rightarrow cos \angle(u, v) = 0^o\)

• jeżeli wektory są prostopadelk, długość rzutu u na v ma długość 0 z czego wynika, że \(\frac{0 * ||v||}{||u||*||v||} = 0 \Rightarrow cos\angle(u,v) = 90^o\)

Wektory ortogonalne

To inaczej wektory prostopadłe (aka \(u \perp w\)). Z tego również wynika, że \(u \dot w = 0\) (ofc w drugą stronę też to działa)

Ważne

w tym przypadku jednak inna nazwa ma sens, ponieważ pojęcie wektoróœ ortogonalnych ma również sens w większej liczbie wymiarów (np. 4)

Układ ortonormalny

układ wektorów ortogonalnych, w którym każdy wektor jest dodatkowo unormowany.

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2024.01.09.md

Informacja

Przykłądem bazy ortonormalnej jest baza kanoniczna w \(\mathbb{R}^3\).

Aby wyliczyć współrzędne wektora w bazie ortogonalnej?:

\[ \alpha_a = \frac{\left<v, b_1\right>}{||b_1||^2} \]

Informacja

\(\left<v, b_1\right>\) to \(||v_{b_1}|| * ||b_1|\) po podzieleniu zostaje \(\frac{||v_{b_1}||}{||b_1||}\)

gdzie \(v_{B_1}\) to długość rzutu \(v\) na \(b_k\)

Metoda ortogonalizacji Gramma-Schmidta

Jeżeli istnieje basa generujaca jakąś podprzestrzeń to istnieje też inna ortogonalna baza która generuje tą podprzestrzeń.

0. najpierw warto sprawdzić, czy zadana baza nie jest już przypadkiem ortogonalna ;-)

1. \(c_1 = b_1\)

2. aby \(c_2\) generował tą samą przestrzeć co \(lin\left\{c_1, b_2\right\}\) musi on być kombinacją liniową tych wektorów \(c_2 = b_2 + \alpha c_1\).

3. to samo należy zrobić dla 3 wektora. Również \(c_2 = \left<c_2, b_2\right> = 0\)

Rzut Ortogonalny

Wskazówka

również znany jako rzut prostokątny w \(\mathbb{r}^2\)

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2024.01.16.md

Przestrzenie euklidesowe

Macierze ortogonalne

TO takie macierze, które \(A^T * A = I\).

Informacja

\[ detA \neq 0 \land \left( detA^2 = 1 \Rightarrow detA = 1 \lor detA = -1 \right) \]

Wskazówka

Jeżeli macierze A i B są ortogonalne, wtedy \(A * B\) też jest ortogonalna.

Własności baz ortonormalnych. Niech \(B_{\perp}\) i \(B_{\perp}'\) będą dwiema bazami ortonormalnymi. Niech \(P_{B \to B'}\) będzie macierzą przejścia pomiędzy nimi. Wtedy \(P\) również jest ortogonalna.

Wskazówka

Zauważ, że \(P_{B' \to B} = P_{B \to B'}^{-1} = P_{B \to B'}^T\)

Izometrie liniowe

to przekształcenia które nie zmieniają odległości między wektorami.

\[ || u - w || = || \phi(u) - \phi(w) || \]

Można wysnuć wniosek, że \(\phi\) jest ortogonalne.

Możliwe typy Izormorfizmów liniowych to:

• obrót

• odbicie (względem prostej o równaniu \(y = tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)x\))

---

Notatki z pliku notes/01algebra/algebra_2024.01.23.md

Przestrzenie Unitarne

Przestrzeń unitarna to taka przestrzeń euklidesowa określona nad ciałęm liczb zespolonych.

Iloczyn hermitowski

Iloczyn skalarny zdefiniowany w następująćy sposób:

\[\begin{split} v_1 = [x_1, y_1, z_1] \quad v_2 = [x_2, y_2, z_2] \\ \left<v_1, v_2\right> = x_1 * \bar{x_2} + y_1 * \bar{y_2} + z_1 * \bar{z_2} \end{split}\]