Notatki z pliku notes/atomowa/atomowa_0000.00.00.md

Wstęp do Fizyki Atomowej i Molekularnej

Notatki z pliku notes/atomowa/atomowa_2025.03.05.md

Wstęp

Jednostki

Zobacz także

pierwszy punkt ze strony

Układ 2 ciał punktowych oddziaływujących siłą centralną

rozważmy 2 punkty położone względem punktu obserwacyjnego O

Zapisujemy 2 zas. dynamiki.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \left\lbrace\begin{matrix} m_1 r_1'' = -F(r) \\ m_2 r_2'' = F(r) \end{matrix}\right. \\\end{split}\\F(r) = -\nabla V(r) \end{aligned}\end{align} \]

Wskazówka

\[\begin{split} P_{tot} = p_1 + p_2 \\ \vec{L_{tot}} = L_1 + L_2 \\ E_{tot} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + V(r) \end{split}\]

Pokazać, ze powyższe wielkości są zachowane w trakcie ruchu ciała w czasie (są całkami ruchu) - policzyć pochodne i pokazać ze są równe 0

Zmienne względem środka masy

zmieniamy zmienne opisujące układ (do tej pory zmienne położenia) na zimenneśrodka masy oznaczone jako \((\vec(r_1), \vec{r_2}) \to (\vec{R}, \vec{r})\) gdzie R jes takie, że \(\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2}\) natoimiast \(\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}\)

Równania ruchu w zmiennych \(\vec{R} \vec{r}\)

Wskazówka

odwracamy przekształcenie: $\( \vec{r_1} = \vec{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} \\ \vec{r_2} = \vec{R} - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} \)$

Otrzymujemy, że:

\[\begin{split} \left\lbrace\begin{matrix} m_{tot} \vec{R}'' = 0 \\ r \frac{m_1 m_2}{m_1 m_2} = F(r) \end{matrix}\right. \end{split}\]

Informacja

  • równanie 1 ma proste rozwiązanie: \(\vec{R}(t) = R_0 + v_{cm}*t\)

  • rozwiązanie równania 2 zależy od postaci siły \(F(r)\)

Rozwiązanie dla siły culombowskiej

Załóżmy, \(F(r) = \frac{D}{r^2} \hat{r}\) gdzie \(D \neq 0\)

Informacja

TODO: Wyrazić całki ruchu \(p_{tot}\), \(L_{tot}\) i \(E_{tot}\) wyrazić w nowych zmiennych

\[\begin{split} p_{tot} = m_{tot} * v_{tot} \\ L_{tot} = R \times P_{tot} + \mu r \times v \\ E_{tot} = \frac{P_{cm}^2}{m_{tot}} + \frac{\mu v^2}{2} + V(r) \end{split}\]

Informacja

TODO: Wykaż, że P,L,E są całkami ruchu

Potencjał efektywny w problemie 2 ciał

Definicja pędu względnego

\[\begin{split} p^2 = (\mu v)^2 = p_r^2 + p_\perp^2 \\ L^2 = (r\times p)^2 = (r \times p_\perp)^2 = r^2 p^2 - (\vec{r} \times \vec{p})^2 = r^2 p^2 \end{split}\]

TODO: czemu ten iloczyn się tak rozbija?

\[ E = E_r + V_{ef}(r) \]

w opisie klasycznym eneriga raidalna jest zwsze większa lub równa 0

\[ V_{ef} = \frac{L^2}{2 \mu r^2} + \frac{D}{r} \]

TODO: Przeprowadź analogiczne rozważania dla D > 0

Notatki z pliku notes/atomowa/atomowa_egzamin.md

Egzamin 2 termin

Tabelka

zadanie z Kartek z Grupy

Wykrzyknik

1

(wsm to nie mam tego ale podobne do 4.2)

2

4.2

3

nie ma w ! ale jest w wykładzie 4

4

4.5

5

6

7

okolice 6.3

8

nie wiem i TODO

9

5.3 i 6.1

10

5.5

11

6.2

12

7.2

13

8.1

14

9.1

15

9.3

16

trochę na pewno jest 9.5

Strona 1

Zadanie 1

  1. \(\psi = Y R\)

  2. \(\hat{H} = \frac{p^2}{2m} - \frac{ke^2}{r}\)

  3. \(\hat{H}\psi = E \psi\)

  4. \(R'' + \frac{2}{r} R' + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E + \frac{ke^2}{r} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} \right) R = 0\)

  5. \(L^2 Y = \hbar^2 l(l+1)Y\)

  6. \(\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) - \frac{1}{r^2 \hbar^2} \hat{L}^2\)

  7. \(p = -i \hbar \nabla\)

Musimy udowodnić 4. Podstawiamy kolejno: 3 <- 1 <- 2 <- 7 <- 6, <- 5. Upraszczamy i wychodzi 4.

Zadanie 2

Ważne

Trzeba pamiętać, że \(\frac{d}{dr}\chi = \frac{d}{d\rho}\chi \frac{d}{dr}\rho\) (czyli innymi słowy, że różniczkowanie \(\chi\) po \(r\) wypluwa nam jeszcze \(\rho'\))

Cała trudność polega na policzeniu 2 pochodnej \(\chi\) po \(r\). Potem wstawiamy do równania które jest w zadaniu i wychodzi.

zadanie 3

A

po prostu podstawiamy pod \(\rho\) 0 albo \(\infty\).

Wskazówka

dla 0 zostaje tylko skłądnik z \(\rho^2\) w mianowniku. Potem pdostawiamy \(\chi = \rho^\alpha\) i wychodzi.

B

przy rozwiązywaniu równań należy pamiętać, że \(\chi(\rho \to 0) = 0 \land \chi(\rho \to \infty) = 0\). Powinno wyjść \(\chi(\rho \to 0) = C \rho^{l+1}\) i \(\chi(\rho \to \infty) = e^{-\frac{1}{2}\rho}\)

Potem trzeba policzyć 2 pochodną tego nowego \(\chi\) ale to jest tortura więc jak to wyciągnę to będę liczył.

C

Aby policzyć energię trzeba wyliczyć E (podstawiająć \(\alpha = -n\))

Zadanie 4

Sferyczne liczby kwantowe:

  • Główna liczba kwantowa \(n = 1, 2, 3, \ldots\)

  • Orbitalna liczba kwantowa \(l \in \{0, 1, \ldots, n-1\}\)

  • magnetyczna liczba kwantowa \(m \left< -l, l \right> \cap \mathbb{Z}\)

  • spinowa liczba kwantowa \(s = \pm \frac{1}{2}\)

Energia zdegenorwana oznacza, że dla jednej wartości energii możliwe jest więcej niż jedna kombinacja liczb kwantowych. Aby udowodnić, że liczba takich deformacji wynosi \(n^2\) należy obliczyć sumę po wszystkich możliwych wartościach, czyli \(\sum_{l=0}^{n-1}\sum_{m=-l}^{l} 1\).

Zadanie 5

W tym zadaniu są 2 (a nawet 3) kluczowe rzeczy:

  • definicja sferycznego ukłądu współrzędnych. Wtedy wiemy, że \(\hat{r} = (\phi, \theta) \Rightarrow -\hat{r} = (\phi \pm \pi, \pi - \theta)\) (pamiętamy, że \(\theta\) liczymy od osi OZ).

  • rozkminienie co to jest \(\cos(\pi - \theta) = - \cos\theta \Rightarrow \cos^2(\pi - \theta) = \cos^2 \theta\). Wtedy cosinusy w wielomianie Laguerre’a zjadają minusa tylko dół pochodnej wypluwa \((-1)^{l+m}\).

  • \(exp(im\pi) = (-1)^m\) natomiast \((-1)^{l+m+m} = (-1)^{l+2m} = (-1)^l\), ponieważ \(m \in \mathbb{Z}\).

Strona 2

Zadanie 6

A

Cała filozofia polega na rozpisaniu \(\psi_{nlm} = R_{nl}(r) Y_{lm}(\hat{r})\). Wyciągamy funkcję niezależną od \(\theta \phi\).

B

Podstawiamy z tablic (które są dołączone do zestawu) i wychodzi. P’stwo w r=0 jest zawsze 0.

C

Bierzemy rozwiązanie z punktu B i liczymy dla niego coś takiego: \(\left<r\right> = \int_0^\infty r P_{10}(r) dr\). Powinno wyjśc \(\frac{3}{2}\).

Wskazówka

\[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \quad \text{dla } n \in \mathbb{N}_+ \]

Zadanie 7

Zacznijmy od ostatniej części: dowód na uproszczenie do delty Diraca jest prosty. Wystarczy powiedzieć, że dla \(\epsilon_0\) widać dlete, bo \(\epsilon_0 \perp \epsilon_{\pm 1}\). Natomiast dla \(m = \pm 1\) definiujemy \(\epsilon_m = \frac{-m}{\sqrt{2}} \left( \hat{e_1} + i m \hat{e_2} \right)\) i jawnie wyliczamy \(\epsilon_m \cdot \epsilon *_{m'}\).

Wskazówka

\[\begin{split} \hat{e_1} \perp \hat{e_2} \Rightarrow \hat{e_1} \cdot \hat{e_2} = 0 \\ \hat{e_m}^2 = 1 \end{split}\]

W 1 części zadania, należy z tablic rozpisać harmonike sferyczną dla \(l=1\) i \(m=0, \pm 1\). Następnie podstawiamy i wychodzi definicja cylindrycznego ukłądu współrzędnych. (Potem liczymy sumę ale to już nie jest trudne).

Zadanie 9

A

Wyliczamy \(E'\) i dochodzimy do \(E\) od razu. przy \(B\) trzeba wyprowadzić \(\nabla \times (\nabla f) = 0\).

Wskazówka

niech \(G = \nabla \times \nabla f\).

\[ G_i = \epsilon_{ijk} \partial_j \partial_k f \]

ponieważ \(\partial_j\) komutuje z \(\partial_k\), to symbol antysymetryczny okazuje się być symetryczny :smile: i wychodzi 0.

B

najpierw rozpisujemy równanie do jawnej postaci. po obu stronach pojawi się wtedy wyraz typu \(\gamma q \chi' \psi\). Powinniśmy wtedy dojść do momentu, w którym należy udowodnić, że \(D^2(A')\gamma \psi = \gamma D^2(A) \psi\). Robi się to w 2 etapach

  1. udowadniamy, że \(D(A')\gamma \psi = \gamma D(A)\psi\).

  2. mnożymy powyższy wynik przez siebie samego i otrzymujemy wersję kwadratową.

Zadanie 10

A

Tutaj trudna część to pamiętanie definicji dalambercianu \(\square = -\nabla^2 + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\). polaryzacja jest liniowa jeśli \(A_0 = const\)

B

Bierzemy warunek z cechowania czyli \(\nabla A = 0\) i wychodzi, że \(k \perp A_0\).

C

no wstawiamy.

Zadanie 11

Trzeba się trochę pobawić. Wygodnie jest zrobić następujące podstawienia:

  • zakładamy, że \(\Im a = 0\) co znacznie uprości obliczenia.

  • \(\Theta = \omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}+\Phi\)

plan działania jest taki:

  1. liczymy pochodną \(E_m = - \frac{\partial A_m}{\partial t}\)

  2. Wyciągamy co się da

  3. Stosujemy sprytny trick

  4. rozpisujemy jako wektor i wychodzą współrzędne walcowe.

sprytny trick

Niech \(Z\) dowolna liczba urojona

\[ Z - Z* = (Z_x + i Z_y) - (Z_x - i Z_y) = 2 i Z_y = 2 i \Im Z \]

Strona 3

Zadanie 12

  1. zakładamy, że \(\vec{A_0}\perp\vec{k}\)

  2. korzystamy z relacji \(k = \frac{\omega}{c}\) oraz \(\frac{1}{\mu_0} = \epsilon_0 c^2\)

Zadanie 13

Rozpisuje się \(H_at = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} - \frac{ke^2}{r}\) (ta 2 część od razu wypada bo komutuje z definicji do 0). Rozpisujemy komutator \(\left[\nabla^2, r\right]\)

Wskazówka

Należy pamiętać, że \(\nabla r = \delta_{ij} \partial_i x_j = 1\) oraz, że \(\nabla^2 r = \delta_{ij} \partial^2_i x_j = 0\).

Zadanie 14

Część pierwsza

  1. zakłądamy, że bierzemy bazę funkcji ortogonalnych (bo czemu nie). Wtedy \(\braket{\psi_i|\psi_j} = \delta_{ij}\).

  2. Norma z def to \(\braket{\psi|\psi} = \int \psi^* \psi d^3r = 1\).

Część druga

Wskazówka

jak to wylosujesz, to możesz się poddać. Jak to wylosujesz, to twoje szczęście jest porównywalne z… wyobraź sobie, że próbujesz otworzyć drzwi ale zamiast tego nie trafiasz w klamkę, odbijasz się od nich, przewracasz się i łamiesz rękę.

A tak serio, to da się to zrobić, ale trzeba używać jakichś dzikich przekształceń.

  1. wychodzisz z R. Schrödingera (w formie ketowej najlepiej) \(H \ket{\psi} = i \hbar \ket{\psi}\)

  2. rozpisujesz kety.

  3. prawa strona: Pamiętaj o tym że C zależą od czasu więc trzeba je też różniczkować i mamy po kolei:

    • \(\braket{\psi_i|\psi_j'} = \braket{\psi_1|\frac{-i E_j}{\hbar} \psi_j} = -\frac{i E_j}{\hbar} \delta_{ij}\)

    • \(\bra{\psi_i} H \ket{\psi_j} = \bra{\psi_i} H_{at} \ket{\psi_j} + \bra{\psi_i} V \ket{\psi_j}\)

    • \(\bra{\psi_i} H \ket{\psi_j} = exp\left(i\frac{E_i - E_j}{\hbar}t \right) E_j \delta_{ij}\)

    • \(\bra{\psi_i} V \ket{\psi_j} = exp\left(i\frac{E_i - E_j}{\hbar}t \right) \cos\left(\omega t\right) W_{ij}\)

    • zakłądamy, że \(W_{ii} = 0\)

Zadanie 15

(Protip z zadania 14 nadal obowiązuje) To jest to zadanie z evil-trickami w całkach.

Definiujemy sobie:

  • \(\omega_0 = \frac{E_2 - E_1}{\hbar}\)

  • \(\omega_\pm = \left|\omega \pm \omega_0\right|\)

  • \(T_\pm = \frac{2\pi}{\omega_\pm}\)

Informacja

\(\omega_- \to 0\)

Ważne

\[\begin{split} cos x = \frac{1}{2} \left(e^{ix} + e^{-ix}\right) \\ \end{split}\]

Wiedząc to wszystko walczymy z całką:

\[ I_\pm = \int_t^{t+T_+} e^{i\omega_\pm t} C_2 dt \]

Całkę liczymy oczywiście przez części (no bo czemu nie?).

Rozpisujemy wszystko no i ogólnie jest problem. Na pewno jak się wyciągnie \(\frac{1}{i\omega_-}\), to \(I_+\) się całe wyzeruje (bo \(\frac{\omega_-}{\omega_+}\) ma się zerować). No i z tego co zostaje robimy jakieś ugabuga z Taylorem i wychodzi… a przynajmniej powinno.

Informacja

tam w jednym miejscu coś się wyciąga przed całkę mimo tego, że jest zależne od zmiennej całkowania

Zadanie 16

A

z jednego z równań liczymy \(C_1\) a następnie \(C_1'\) i podstawiamy do 2. jak się nie pomylimy to wychodzi.

B

Warunki początkowe:

  • \(C_2(0) = 0\), bo tak.

  • \(C_1(0) = 1\) z normalizacji.

  • \(C_2'(0) = -\frac{iW_{21}}{2\hbar}\) z pierwszego równania.

Podstawiamy równanie charakterystyczne \(C_2(t) = \exp(\lambda t)\) W \(\Delta\) powinien już sięp okazać \(\omega_R\) potem liczyby współczynniki no i coś wychodzi.

C

\(P_{12} = |C_2(t)|^2\) bo to kwadrat amplitudy funkcji falowej.

Strona 4

Zadanie 17

Średniowanie po polaryzacjach

Wybieramy wektor fali \(\hat{n}\) i weersory prostopadłe do niego czyli \(\hat{e_1} \hat{e_2}\).

\[\begin{split} \braket{|e_lambda \cdot r|^2}_\lambda &= \frac{1}{2} \left(|r^2 - |\hat{n}\cdot r|^2) = \\ &= \frac{1}{2}|r|^2 (1 - \cos^2 \theta) \end{split}\]

Średniowanie po kierunkach

Liczymy całkę \(\frac{1}{4\pi} \int_{4\pi} (1 - \cos^2 \theta) d\Omega = \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \left(1-\cos\theta\right)\sin\theta\).

Część 2 zadania

aby udowodnić, że polaryzacje kołowe też działają, trzeba zrobić średniowanie po nich i podstawić z ich definicji.