Notatki z pliku notes/atomowa/atomowa_0000.00.00.md

Wstęp do Fizyki Jądrowej i Molekularnej

Notatki z pliku notes/atomowa/atomowa_2025.03.05.md

Wstęp

Jednostki

Zobacz także

pierwszy punkt ze strony

Układ 2 ciał punktowych oddziaływujących siłą centralną

rozważmy 2 punkty położone względem punktu obserwacyjnego O

Zapisujemy 2 zas. dynamiki.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \left\lbrace\begin{matrix} m_1 r_1'' = -F(r) \\ m_2 r_2'' = F(r) \end{matrix}\right. \\\end{split}\\F(r) = -\nabla V(r) \end{aligned}\end{align} \]

Wskazówka

\[\begin{split} P_{tot} = p_1 + p_2 \\ \vec{L_{tot}} = L_1 + L_2 \\ E_{tot} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + V(r) \end{split}\]

Pokazać, ze powyższe wielkości są zachowane w trakcie ruchu ciała w czasie (są całkami ruchu) - policzyć pochodne i pokazać ze są równe 0

Zmienne względem środka masy

zmieniamy zmienne opisujące układ (do tej pory zmienne położenia) na zimenneśrodka masy oznaczone jako \((\vec(r_1), \vec{r_2}) \to (\vec{R}, \vec{r})\) gdzie R jes takie, że \(\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2}\) natoimiast \(\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}\)

Równania ruchu w zmiennych \(\vec{R} \vec{r}\)

Wskazówka

odwracamy przekształcenie: $\( \vec{r_1} = \vec{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} \\ \vec{r_2} = \vec{R} - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} \)$

Otrzymujemy, że:

\[\begin{split} \left\lbrace\begin{matrix} m_{tot} \vec{R}'' = 0 \\ r \frac{m_1 m_2}{m_1 m_2} = F(r) \end{matrix}\right. \end{split}\]

Informacja

  • równanie 1 ma proste rozwiązanie: \(\vec{R}(t) = R_0 + v_{cm}*t\)

  • rozwiązanie równania 2 zależy od postaci siły \(F(r)\)

Rozwiązanie dla siły culombowskiej

Załóżmy, \(F(r) = \frac{D}{r^2} \hat{r}\) gdzie \(D \neq 0\)

Informacja

TODO: Wyrazić całki ruchu \(p_{tot}\), \(L_{tot}\) i \(E_{tot}\) wyrazić w nowych zmiennych

\[\begin{split} p_{tot} = m_{tot} * v_{tot} \\ L_{tot} = R \times P_{tot} + \mu r \times v \\ E_{tot} = \frac{P_{cm}^2}{m_{tot}} + \frac{\mu v^2}{2} + V(r) \end{split}\]

Informacja

TODO: Wykaż, że P,L,E są całkami ruchu

Potencjał efektywny w problemie 2 ciał

Definicja pędu względnego

\[\begin{split} p^2 = (\mu v)^2 = p_r^2 + p_\perp^2 \\ L^2 = (r\times p)^2 = (r \times p_\perp)^2 = r^2 p^2 - (\vec{r} \times \vec{p})^2 = r^2 p^2 \end{split}\]

TODO: czemu ten iloczyn się tak rozbija?

\[ E = E_r + V_{ef}(r) \]

w opisie klasycznym eneriga raidalna jest zwsze większa lub równa 0

\[ V_{ef} = \frac{L^2}{2 \mu r^2} + \frac{D}{r} \]

TODO: Przeprowadź analogiczne rozważania dla D > 0