Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_0000.00.00.md

Wstęp do Fizyki Kwantowej

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2024.10.08.md

http://website.fis.agh.edu.pl/~Wolny/index2.php.htm

Informacja

egzamin ustny, dostaniemy notatki i zagadnienia. 2/10 pytań.

Promieniowanie termiczne

Skale temperatur

  • celcjusz (0 - zamarzanie wody, 100 - wrzenie wody)

  • Kelwina (przesunięta o 273.15)

  • Farenheita (0 - najniższa temperatura zmierzona, 100 - temperatura ciała ludzkiego)

doświadczenie

bierzemy pudełko i robimy w nim dziurę. Gdy promieniowanie wpada (pod kątem) przez otwór, ścianki pudełka odbijają promieniowanie aż zostanie ono całkowicie pochłonięte. To jest tak zwany model ciała doskonale czarnego

Zdolność emisyjna

Zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego oznaczamy jako \(R_T\)

Wykres Zdolności emisyjnej od częstotliwości fali przedstawia następujący wykres:

Wykres Zdolności Emisyjnej

Całkowita zdolność emisyjna: \(R_t = \int_0^\infty R_T d\nu\)

Prawo Stefana

\[ R_T = \sigma T^4 \]

Gdzie:

  • T - temperatura (w kelwinach)

  • \(\sigma\) - stała Stefana-Boltzmanna

Wskazówka

Jeżeli chcemy zastosować to prawo do ciała innego niż CDC, musimy wynik przemnożyć jeszcze przez stałą \(0 < \epsilon < 1\) określającą, jaką część promieniowania CDC emituje Ciało

Gdy temperatura ciała wzrasta, następuje przesunięcie (górki na wykresie są bardziej w lewo) długości fal/częstotliwości ku falom krutszym.

\(\lambda_{max} = \frac{C}{T}\), gdzie C to stała. Tą zależność nazywamy prawem Wiena.

Teoria Plancka

Planck zauważył, że energia “stanu” zależy od częstotliwości fali.

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2024.10.15.md

Model atomu Bohra

Ref:

Wstęp

Zgodnie z postulatem Plancka, energia emisyjna Ciała Doskonale Czarnego (dalej CDC) jest zkwantowana (oznacza to, że energia emitowanych fal musi być w postaci \(E = n * \Delta \epsilon\)).

Zauważono, że to samo dotyczy długości fal emitowanych przez atomy.

Zauważono następującą zależność:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) \]

gdzie:

  • m - nr serii

  • n - nr dla poszczególnych linii serji (\(n > m\))

Termy

z powyższego wzoru widać, że poszczególne “wyrazy” wzoru można przedstawić jako

\[ T_n = \frac{R}{n^2} \]

Równanie można również rozszerzyć na bardziej skomplikowane atomy (dotychczas była mowa tylko o wodorze)

\[ \frac{1}{\lambda} = T_1-T_2 \]

Prawo Kombinacji Rydberga-Ritz’a

Liczby falowe dowolnych linii spektralnych mogą być wyrażone jako różnice odpowiednich termów, które z kolei przez kombincję z innymi termami służyć mogą do obliczania liczb falowych innych linii tego samego widma.

Budowa Atomu - postulaty Bohra

Istniało kilkanaście koncepcji modelu atomu (Thomson’a, Rutherford’a), jednak wszystkie zostały obalone.

Bohr sormuował następujące postulaty:

  1. “Stacjonarne Orbity”: Istnieją stany atomu, w których nie emituje on żadnej energii.

  2. “kwantowanie”: Moment Pędu elektronu w stanie stacjonarnym wynosi \(L=mVr = n\hbar\) (gdzie \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\))

  3. “zasada częstości”: Gdy atom przechodzi z jednego stanu w inny, zachodzi to przy udziale kwantu energii (wyemitowanego/pochłoniętego)

Poprawki do modelu Bohra

  • wprowadzenie poprawki na masę jądra

  • dlaczego nie orbity eliptyczne? (uogulniony postulat Bohra-Sommerfeld’a) - \(\oint p dr = nh\)

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2024.10.21.md

Efekt fotoelektryczny

ref:

  • https://www.youtube.com/watch?v=ObQ7Di_xuIs&list=PLRN3HroZGu2mCtdalEmZAM2nr1xBWAtUn&index=8

Światło padające na powierzchnię ciała wybija z niego fotony. Przeprowadzono eksperyment z katodą i anodą oraz prostym obwodem elektrycznym co doprowadziło do 3 spostrzeżeń:

  • proces wybijania elektronów jest natychmiastowy

  • Energia kinetyczna elektronów nie zależy od natężenia światła

  • energia kinetyczna elektronów jest proporcjonalna do częstotliwości

Powyższych punktów nie da się wytłumaczyć klasyczną fizyką. Rozwiązanie podał Einstain.

Zauważył on, że światło jest skwantowane i przenosi ono \(E=h \nu\) energii.

\[ h \nu = E_k + W_W \]

gdzie:

  • \(E_k\) to energia kinetyczna jaką otrzyma elektron

  • \(W_w\) to praca wyjścia

Powyższy wzór można rozpisać również w innych wariantach na przykład (w nawiązaniu do cw 82 z pracowni)

\[ U_h = \frac{h \nu}{e} - \frac{W_w}{e} \]

Albo też z częstotliwością progową:

\[ E_k = h(\nu - \nu_0) \]

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2024.10.22.md

Efekt comptona

ref:

  • https://www.youtube.com/watch?v=oTNiJVdEyCc&list=PLRN3HroZGu2mCtdalEmZAM2nr1xBWAtUn&index=9

Gdy swiatło pada na materię, czasami wybija z niej elektrony, przekazując im część swojej energii. Powoduje to zmianę długości fali (dowód z zasady zachowania pędu i zasaday zachowania energii \(E = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2}\))

Końcowe przesunięcie fali \(\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c}\left(1 - cos \Theta\right) = \lambda_C (1 - cos \Theta)\)

W doświadczeniu z rozpraszaniem wiązki lasera na materii powoduje to dwa “piki” na wykresie odbieranych długości fali. Pik dalszy (przesunięty w prawo o dłuższych falach to właśnie efekt Coptona). Drugi (pierwszy o niższej dł. Fali) powstaje w wyniku interakcji fotonów z całym atomem (nie udało im się wybić elektronu a atom jest większy)

Kreacja i anichilacja

ref:

  • http://website.fis.agh.edu.pl/~Wolny/Wc680ac88c02ae.htm

  • https://www.youtube.com/watch?v=AfQj5ISTU3s&list=PLRN3HroZGu2mCtdalEmZAM2nr1xBWAtUn&index=10

Gdy materia bombardowana jest wysokoenergetycznym promieniowaniem (światłem) (\(E = h \nu \approx N meV ~ ~ N > 1\)) dochodzi do stworzenia nowej pary cząstek (elektronu i pozytonu) z energią kinetyczną \(E_k = E - 2 m_e c^2\).

\[ E = h \nu = m_{e^-} c^2 + E_{e^-} + m_{e^+} c^2 + E_{e^+} = 2 m_e c^2 + E_k \]

Informacja

Odwrotny proces wydarza się gdy elektron spotyka pozyton.

Wskazówka

Minimalna długość fali tworzącej elektrony wynosi \(\lambda = 1.2 pm\) - fotony gamma.

Ważne

Zjawisko to nie zachodzi (nie powinno zachodzić) w próżni. Porces ten wymaga obecności nukleonów

Dowód:

Z ZZE mamy:

\[ E = 2 \gamma m_0 c^2 \]

Natomiast z ZZP:

\[\begin{split} 2 p_x = \frac{E}{c} = \frac{h \nu}{c} = 2 p cos \theta \\ h \nu &= 2 p c cos \theta \\ &= 2 \gamma m_0 v c cos \theta \\ &= 2 \gamma m_0 c^2 \frac{v}{c} cos \theta \\ \end{split}\]

  • z założenia \(\frac{v}{c} < 1\)

  • z definicji \(cos \theta \leq 1\)

Więc mamy: $\( \frac{v}{c} < 0 ~ \land ~ cos \theta \leq 1 \Rightarrow \frac{v}{c} cos \theta < 1 \Rightarrow h \nu < 2 m_0 c^2 \)$

Ostatnie spostrzeżenie nie zgadza się z ZZE.

Cciekawostka

W zależności od energii fotonów obserwujemy różne efekty kwantowe:

  • niska energia - efekt fotoelektryczny

  • średnia energia - przesunięcie Comptona

  • Bardzo duża energia - kreacja par elektron/pozyton

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2024.10.26.md

De’Broglie

Hipoteza De’Broglie’a mówi mówi, że skoro dla fotonów mamy

\[\begin{split} E = h \nu \\ p = \frac{E}{c} = \frac{h \nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \end{split}\]

To dla cząstek materialnych równiez można zastosować to prawo wtedy \(p = \frac{h}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{h}{p}\)

Nie-Relatywistycznie

Relatywistycznie

\(E_k = \frac{p^2}{2m}\)

\(p = \gamma m_0 v\)

\(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}\)

\(\lambda = \frac{h}{\gamma m_0 v}\)

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2025.01.14.md

Egzamin - Pytania

Pytanie 1

Promieniowanie termiczne

Promieniowanie generowane przez ciało rozgrzane do pewnej T. Ciało któ©e odbija całość dostarczonego promieniowania to ciało doskonale czarne.

Notatki z pliku notes/03kwanty/kwanty_2025.02.11.md

PRzygotowanie do egzaminu (V2)

Promieniowanie termiczne i reliktowe. katastrofa w nadfiolecie

  • Emisyjność to funkcja \(R_T(\nu)\) (Względnie \(R_T(\lambda)\)) - to jest ilość energii na jednostkę powierzchni w danej temperaturze jaką CDC wyemituje.

  • Prawo Stefana-Boltzmana mówi o całkowitej emisyjności \(R_T = \int_0^\infty R_T(\nu) d\nu = \sigma T^4\).

  • Przesunięcie Wiena (prawo Wiena) mówi o częstotliwości (względnie długości) w jakiej ciało emituje najwięcej energii \(\lambda_{max} = \frac{b}{T}\) gdzie b to stała.

  • Promieniowanie reliktowe to mikrofalowe promieniowanie tła obecne w całym wszechświecie.

  • Po analizie ekperymentu Rayleigha-Jeansa (wnęka) \(\frac{8\pi\nu^2 a^3}{c^3} d\nu\) (nie wiem skąd się to bierze…) co potwierdza wartości eksperymentalne tylko dla małych \(\nu\). Dla większych wzór się nie zgadza co prowadzi do katastrofy w nadfiolecie.

Teoria Bohra

  • Postulaty Bohra:

    • Elektron porusza się po okręgu

    • \(L * r = n * \hbar\)

  • kwantowanie promienia liczy się z równowagi sił elektrycznej i odśrodkowej

  • doświadczenie francka-hertza - przyspieszanie elektronów z katody na anodę. zamiast liniowego wzrostu napięcia na anodzie mamy wykres “piłokształtny”

Fale De’Broglie’a

  • Istnieją fale materii \(p = \frac{h}{\lambda}\)

  • doświadczenie devisona-germera - potwierdza że elektrony doświadczają dyfrakcji (nikiel zastępuje siatkę dyfrakcyjną).

Postulaty fizyczne mechaniki kwantowej

  • Zasada Odpowiedniości (niektóre rzeczy są 1:1 jak w mechanice klasycznej). Wszystkie tw. mechaniki klasycznej NIE zawierające pochodnej aplikują się także do mechaniki kwantowej po zastąpieniu odpowiednich wielkości fizycznych operatorami.

  • Zasada Komplementarności jest bezpośrednią konsekwencją zasady nieoznaczoności Heisenberga. Niektóre elementy ukaldów mikroskopowych wzajemnie się wykluczają

  • zasada superpozycji - układ kwantowy może być w stanie superpozycji (np. w stanie \(\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\))

  • Równanie kleine-gordona - bierzemy niezmiennik \(E^2-p^2 c^2=m^2 c^4\) i “podstawiamy” operatory z r. Schrodingera na przykład \(p = -i \hbar^2 \nabla^2\) oraz \(E = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\)