Notatki z pliku notes/02eio/eio_0000.00.00.md

Elektromagnetyzm i Optyka¶

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.02.27.md

Ruch Falowy¶

Uwagi wstępne¶

Rozważamy fale sprężyste

fala

Falą nazywamy zaburzenie ośrodka rozchodzące się w przestrzeni

Ośrodek sprężysty

To taki ośrodek, który spełnia założenia prawa Hook’a

Fale sprężyste

to fale rozchodzące się w ośrodku sprężystym

Podział fal ze względu na kierunek propagacji¶

Fale poprzeczne	Fale Podłużne
ruch cząsteczek następuje w kierunku prostopadłym do kierunku propagacji	wszystkie cząsteczki drgają równolegle do kierunku propagacji
występuje tylko w ciałach stałych	mogą się rozchodzić w gazach cieczach i ciałąch stałych
	przykład: sprężyna, pręt w imadle

Fale Płaskie	Fale Kuliste
czoło fali jest odcinkiem prostej (lub fragmentem płaszczyzny)	powierzchnie falowe rozchodzą się symetrycznie we wszystkich kierunkach

Fala okresowa (periodyczna)

Fukncja opisująca kształt fali jest funkcją periodyczną.

Fala o stałym kształcie

taka fala, która nie zmienia kształtu podczas rozchodzenia się w przestrzeni

Przykład¶

Rozważmy pojedynczy impuls falowy fali o stałym kształćie. kształt odkształćenia można opisać w postaci funkcji $\psi(x, t)$ Można zapisać jako $\psi(x +- v * t)$.

Rozważmy falę sinusoidalną:

\[\begin{split} \psi(x,t) = A * sin(x+- v * t) = A sin(2 \pi (\frac{x}{\lambda} +- \frac{t}{T})) = A sin(kx +- \omega t) \\ k = \frac{2\pi}{\lambda} \\ k * v = \omega \\ k = lambda * f \\ \psi(\vec{r}, t) = A sin(\vec{r}* k - \omega t) = \hat{A} * e^{i * (k * \vec{r} - \omega t)} \end{split}\]

wektor falowy

ma tki kierunek i zwrot jak propagacja fali w przestrzeni

Równanie D’Aramberta¶

Każda fala o stałym kształcie spełnia poniższe równanie

\[\begin{split} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \\ \end{split}\]

\[\begin{split} \psi(x,y,z,t) \\ \frac{\partial^2 \psi()}{\partial t^2} = v^2 * \Delta \psi \end{split}\]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.02.29.md

Fale Sprężyste¶

Rozpatrzmy mechanizm propagacji fali w pręcie (fala podłużna) (Eksperyment z wygiętym prętem w imadle).

Rozpatrzmy wycinek pręta (“Plasterek”) przed dojściem impulsu falowego wycięty w odległości $A$ i $A'$, szerokości $dx$ wykonanego z materiału o gęstości $\rho$

Po dojściu impulsu przekrój $A$ odchyli się o $\psi$. Ponieważ materiał jest sprężysty, przekrój $A'$ nie przesunie się o $\psi$ tylko o $d\psi$.

\[\begin{split} m = \rho * s * dx \\ a = \frac{d^2 \psi}{dt^2} \\ dF = F - F' \\ dF = \rho * s * dx * \frac{d^2 \psi}{dt^2} \\ \bf{\frac{dF}{dx} = \rho * s * \frac{d^2 \psi}{dt^2}} \\ \end{split}\]

Teraz należy wykonać obliczenia zgodnie z prawem Hook’a

\[\begin{split} P = E * \frac{d \psi}{dx} \\ F = E * s * \frac{d \psi}{dx} \\ \frac{F}{dx} = E * s * \frac{d^2 \psi}{dx^2} \\ \\ \frac{d^2 \psi}{dt^2} = \frac{E}{\rho} \frac{d^2 \psi}{dx^2} \\ v = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \end{split}\]

Ogólna Formuła na prędkość fali sprężystej¶

rozchodzenie fali podłużnej w cieczy (lub gazie).

\[ v = \sqrt{\frac{K}{\rho}} \]

fala poprzeczna w pręcie (rozchodząca się na zasadzie mechanizmu ścinania).

\[ v = \sqrt{\frac{G}{\rho}} \]

G to moduł sztywności.

Wzór Newtona

Niech M oznacza odpowiedni moduł sprężystości, wtedy

\[ v = \sqrt{\frac{M}{\rho}} \]

Fala poprzeczna na strunie

Fale na powierzchni wody¶

\[\begin{split} F = 2 \sigma l \\ \end{split}\]

Przybliżony wzór dla fal harmnoicznych

\[ v = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi} +\frac{2\pi \sigma}{\rho \lambda}} \]

Wzór jest adekwatny gdy głebokość zbiornika jest dużo większa od długości fali.

Ośrodek dyspersyjny¶

rozpatrzmy propagację fal bardzo długich. Można zauważyć, że w tym przypadku im większa długość fali $\lambda$ tym prędkość większa.

Ośrodek dyspersyjny

Ośrodek dyspersyjny to taki, w którym prędkość rozchodzenia się fali zależy od długości fali

Pakiet falowy to połączenie fali harmonicznej (sinusoidalnej) z pojdeynczym impulsem falowym.

W środowisku dyspersyjnym pakiet falowy się rozpadnie (dystorsia).

\[ v = \lambda f = \frac{\omega}{k} \]

Rozważamy pakiety falowe złożone z dwuch częstości. Dla pakietów o dowolnej liczbie składowych występuje prętkość grupowa $v_g = \frac{d \omega}{dk}$

Natężenie Fali¶

$I$ - powierzchniowa gęstość mocy $\left[\frac{W}{m^2}\right]$.

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.03.05.md

Prędkość fazowa

\[\begin{split} v_\phi = \frac{ \omega}{k} \\ v_g = \frac{d\omega}{dk} \\ v_g = \frac{d}{dk} (v_\phi * k) \end{split}\]

Relacje dyspersji ($E(\vec{k}), E(p)$)

Efekt Dopplera¶

\[ \ni' = \ni \frac{v+-v_o}{v-+v_z} \]

Zasada Heuyhens’a¶

Każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala staje się źrudłem cząstkowej fali kulistej. Fala dalej propagująca się jest złożeniem tych cząstkowych fal kulistych.

Ta zasada tłumaczy dyfrakcję fal na szczelinie.

Interferencja dwóch fal¶

Fale stojące¶

\[\begin{split} \psi = A sin(kx - \omega t) \\ \psi_{odbita} = -A sin(kx + \omega t) \\ \psi + \psi_{odbite} = 2A sin(kx)cos(\omega t) \end{split}\]

Rezonans akustyczny¶

Doświadczenie: 2 kamertony doświadczenie: rury śpiewające

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.03.07.md

Szczególna Teoria Względności¶

STW

Szczególna Teoria Względności

Problem prędkości światła i postulaty Einsteina¶

Doświadczenie Michaelsona-Marleya¶

Prędkość światła w próżni jest taka sama dla każdego obserwatora w układzie inercjalnym.
Prawa fizyki mają jednakową postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Transformacja Lorentza¶

rozważmy 2 ukłądy odniesienia (jak przy transformacji galileusza). załużmy, że $y=y' \land z = z'$.

Szukamy związku $x$ z $x'$. Zależność ta musi być liniowa.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \left\{\begin{matrix} x' = Ax + bt \\ t' = Mx + Nt \\ \end{matrix}\right.\\\end{split}\\\begin{split}v' = \frac{dx'}{dt'} \\ v' = \frac{Adx + Bdt}{Mdx + Ndt} \\ v' = \frac{Av + B}{Mv + N} \\ \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Jeżeli A spoczywa w S’

\[\begin{split} v' = 0 \\ v = u \\ 0 = Au + B \end{split}\]

Jeżeli A spoczywa w S

\[\begin{split} v=0 \\ v'=-u \\ -u = \frac{B}{N} \end{split}\]

Jeżeli A porusza się z prędkością $c$ względem obu układów

\[\begin{split} c = \frac{Ac + B}{Mc + N} \\ \left\{\begin{matrix} Nu = -B \\ B = -Au \\ N=A \end{matrix}\right.\\\end{split}\]

\[ x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} t' = \frac{t - \frac{ux}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \]

Diagram Minkowskiego i interwał czasoprzestrzenny¶

ponieważ $t'$ zależy również od wpsółrzędnej przestrzennej, należy mówić o 4-wymiarowej czaso-przestrzeni.

Diagramem Minkowskiego nazywamy wykres $c*t(x)$

Linie świata

Linie rysowane na diagramie Minkowskiego

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.03.12.md

Diagram minkowskiego

wykres zależnośći c*t(x) gdzie x tow ektory 3-wymiarowe

Wskazówka

linie świata pod kątem $\alpha=45^o$ określają zdarzenia zachodzące z prędkością światła

FIgura wyznaczone przez te linie nazywa się “Stożkiem Minkowskiego”

Interwał czasoprzestrzenny

\[ S_{AB}^2 = c^2(t_B-t_A)^2 - (x_b-x_A)^2 - (y_B-y_A)^2 - (z_B-z_A)^2 \]

Niezmienniczość interwału czasoprzestrznennego¶

\[\begin{split} S_{AB}^2 = c^2 (\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 \\ {S'_ {AB}}^2 = c^2 (\Delta t')^2 - (\Delta x')^2 \\ {S'_ {AB}}^2 = c^2 (t_B' - t_A')^2 - (x_B' - x_A')^2 \\ {S'_ {AB}}^2 = c^2 \left(\gamma(t_B - \frac{ux_B}{c^2} - t_A + \frac{ux_A}{c^2})\right)^2 - (x_B - ut_B - x_A + ut_A)^2 \\ {S'_ {AB}}^2 = c^2 (\gamma(t_B - \frac{ux_B}{c^2} - t_A + \frac{ux_A}{c^2}))^2 - \gamma^2(x_B - ut_B - x_A + ut_A)^2 \\ {S'_ {AB}}^2 = \gamma((c \Delta t - \frac{u}{c^2} \Delta x)^2 - (\Delta x - u \Delta t)^2) \\ \text{wyliczenie ze wzoróœ skruconego mnożenia} \\ \text{gamma się skruci} \\ \end{split}\]

Konsekwencje transformacji Lorentza¶

Relatywistyczne dodawanie prędkośći¶

\[\begin{split} \frac{dx}{dt} = v_x \land v_x' = \frac{dx'}{dt'} \\ \frac{dx'}{dt'} = \frac{\gamma(dx - udt)}{\gamma(dt - \frac{udx}{c^2})} \\ ...\\ v_x' = \frac{v_x + u}{1+\left(\frac{v_x}{c}\right)^2} \end{split}\]

\[\begin{split} v_y' = \frac{dy'}{dt'} \\ v_y' = \frac{dy}{\gamma(dt - \frac{u dx}{c^2})} \\ \end{split}\]

Relatywistyczna transformacja przyspieszenia¶

\[ a_x' = \frac{dv_x'}{dt'} \]

Relatywistyczne skrócenie długości¶

w układzie, w którym pręt spoczywa ma on długość l
przy mierzeniu długośći pręta zakładamy, że robimy to w tym samym czasie.

W układzie, w którym spoczywa (s’)

\[\begin{split} l' = x_b' - x_A'\\ x = x_b - x_a\\ ...\\ l' = \gamma * l\\ \end{split}\]

Relatywistyczne wydłużenie czasu¶

dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w $S'$.

\[ \Delta t = \gamma * \Delta t' \]

zegar w S chodzi szybciej niż w S’ dla obserwatora w S

Czas własny procesu¶

Czas własny procesu jest krótszy Dla każdego innego obszerwatora czas procesu będzie o $\gamma$ dłuższy.

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.03.19.md

Wybrane efekty relatywistyczne¶

Podłużny Efekt Dopplera¶

Efekt ten występuje również dla światłą.

Rozważmy dwa układy, gdzie $S'$ zbliża się do $S$ z prędkością relatywistyczną.

$S'$ wysyła impulsy świetlne w co $T$ sekund.

Dla zbliżania, wzpółczynnik dl aokresu.

\[\begin{split} f T = \gamma(T - \frac{u}{c} T) \\ f = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} \\ \beta = \frac{u}{c} \end{split}\]

Poprzeczny efekt dopplera¶

Relatywistyczne zwężenie wiązki promieniowania¶

2 układy. Światło skierowane pod kątem $\phi'$ (zmierzony w ukłądzie $S'$).

\[ cos \phi' = \frac{\frac{u}{c} + cos(\phi)}{1+cos(\phi)} \]

Paradoks bliźniąt¶

ref: Wróblewski, Zakrzewski podręcznik

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.03.21.md

Pojęcie pola¶

Zobacz także

dr R. Strzałka - Zestaw 0 - Tabela

\[\begin{split} \Phi(\vec{r}, t) \\ A(\vec{r}, t) \end{split}\]

Informacja

\[\begin{split} \Phi(\vec{r}) = const \Rightarrow \text{pole stałe} \\ \vec{A}(\vec{r}) = const \Rightarrow \text{Pole jednorodne} \end{split}\]

Układ współrzędnych sferyczny¶

Współrzędne zapisujemy jako $(r, \theta \phi)$

Operatory różniczkowe¶

Operator wektorowy $\nabla$

\[ \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \]

Gradient pola $\Phi$ definiujemy jako $\nabla \Phi$.

Wektor gradientu $\Phi$ wskazuje kierunek i wartość maksymalnego przyrostu przestrzennego wielkości skalarnej $\Phi$.

Dywergencja $div \Phi = \nabla * \Phi$

\[ div \vec{A} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_S \vec{A} \vec{ds} \]

Opisuje wirowość pola - gęstość powierzchniową krożenie pola $\vec{A}$.

\[\begin{split} (rot \vec{A})_z = \lim_{S \to 0} \frac{1}{L} \oint \vec{A} ds \\ \end{split}\]

Laplasian pola skalarnego¶

\[ \Delta = \nabla^2 \]

Funkcje harmoniczne

to ciągłę rozwiązania równania laplasa

Laplasian pola wektorowego¶

Szczegulne przypadki pól wektorowych¶

Pole bezwirowe ($\vec{P}$) - $rot \vec{P} = 0$

cechy

zerowanie się rotacji
istnienie niezerowej dywergencji (przynajmniej w niektórych punktach pola

pole bezźródłowe (dywergencja wszędzie znika)

cechy

zerowanie się dywergencji
istnieje potencjał wektorowy
nie istnieje potencjał skalarny
istnieje rotacja (przynajmniej w niektórych punktach pola

```{admonition} Twierdzenie
Każde pole wektorowe może być przedstawione jako suma trzech pól:
- potencjalnego
- wirowego
- harmonicznego

Przykład¶

prędkość prądu w rzece rozkład jak $|x$.

\[ \vec{v} = 0, v_y, 0) \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.03.26.md

Elektrostatyka ładunków punktowych¶

Ładunek elektryczny, przewodniki i izolatory¶

Istnieją dwa rodzaje ładunku elektrycznego: dodatnie i ujemne

Ładunek jest zkwantowany (łądunek elementarny $e=-1.6 * 10^{-19} C$)

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.04.md

Dipol elektryczny¶

układ ładunków elektrycznych $+q$ i $-q$.

Dipolowy moment elektryczny:

\[ \vec{\mu_e} = q \vec{A} ~ \left[\vec{\mu_e}\right] = D = 3.33 \times 10^{-30} ~ \text{Cm} \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.09.md

Prawo Gausa¶

Pojęcie strumienia pola elektrycznego¶

całkowity strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy stosunkowi całkowitej ładunków elektrycznych wewnątrz tej powierzchni do przenikalności elektrycznej próżni.

rozpoznanie symetrii pola
konstrukcja powierzchni Gaussa
obliczenie strumienia
prawo gaussa

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.12.md

Kondensator płaski¶

\[\begin{split} E = \frac{U}{d}\\ C = \frac{Q}{U} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \end{split}\]

Łączenie kondensatorów¶

Połączenie szeregowe - $Q_1 = Q_2$ $U = U_1 + U_2$ $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
Połączenie róœnoległe - $U_1 = U_2$ $C = C_1 + C_2$

Kondensator cylindryczny¶

Jest to kondensator zbudowany z dwóch cylindrycznych okładek.

\[ C = 2\pi\varepsilon_0\frac{l}{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)} \]

Kondensator kulisty¶

Dla pojedynczej sfery:

\[ C = \frac{Q}{V} = 4\pi\varepsilon_0 r \]

Dla kondensatora zbudowanego z dwóch sferycznych okłądek

\[ C = 4\pi\varepsilon_0\frac{r_1r_2}{r_2 - r_1} \]

Energia pola elektrycznego¶

\[\begin{split} W = \int dW \\ W = \int dq * U \\ U = \frac{Q}{C} \\ W = \frac{1}{C} \int_0^Q q dq \\ W = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU^2 \end{split}\]

$\rho_e$ - gęstość natężenia pola elektycznego

\[ W = \frac{\epsilon_0 E^2}{2} d* S: \]

materiał	$\epsilon_r$
próżnia	1
powietrze	1.006
woda	78
teflon	2.1

Prawo Gauss’a z $\epsilon_r$

\[ \epsilon_0 \oint \epsilon_r \vec{E} \cdot d\vec{S} = Q_{wewnętrzne}\]

\[ q' = q (1-\frac{1}{r}) \]

Wektory elektryczne¶

niech $\vec{P}$ oznacza polaryzacje. Wektor ten opisuje polaryzację wewnątrz dielektryka.

polaryzacja

Indukowany moment dipolowy przyapdający na jednostkę objętości dielektryka $\left[\frac{C * m}{m^3} = \frac{C}{m^2}\right]$

\[ \vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} \]

Pole $\vec{E}$ wiąże wszystkie ładunki, składowa styczna jest ciągła.``
Wektor $\vec{B}$ wiąze tylko ładunki swobodne (nie wyindukowane na dielektryku)o
Pole P znika w próżni

Ważne

poniższe wzory działają w normalnych materiałach (nie ferroelektrykach)

\[\begin{split} \vec{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E} \\ \vec{P} = \epsilon_0 (\epsilon_r - 1) \vec{E} \end{split}\]

Obwody prądu stałego, energia i moc prądu elektrycznego¶

\[ I = \frac{dQ}{dt} = \left[\frac{C}{s} = A \right] \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.16.md

PRawo Ohma¶

Ważne

Prawo Ohma jest spełnione dla przewodników metalicznych w stałej temperaturze

\[\begin{split} I = \frac{U}{R} \\ \left[R\right] = 1 \Omega \end{split}\]

Dla prawa Ohma charakterystyka prądowo-napięciowa (wykres $I(U)$) jest liniowa.

\[ R = \rho \frac{L}{S} \]

gdzie $\rho$ to oporność właściwa.

Różniczkowa postać Prawa Ohma¶

\[ \vec{\gamma} = \sigma \vec{E} \]

\[\begin{split} dW = U * dQ \\ \frac{dW}{dt} = U \frac{dQ}{dt} \\ P = U * I \end{split}\]

Ciepło

\[\begin{split} P = U*I = I * R * I \\ Q = I^2 R t \end{split}\]

Obwody prądu stałego¶

siłą elektromotoryczna (SEM)

\[ \varepsilon = \frac{dW}{dq} \left[\epsilon\right] = \frac{J}{C} = 1V \]

Miarą SEM jest napięcie na bigunach otwartego źródła.

Informacja

**otwarte źródło - takie przez które nie płynie prąt

\[ U = \epsilon - I*r_w \]

Łączenie oporników i opór zastępczy¶

szeregowo $R = R_1 + R_2 + ... + R_n$
róœnolegle $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$

Prawa Kirchhoffa¶

1 prawo - prawo dla węzłów¶

suma prądów wpływających jest równa sumie pradóœ wypływających

\[ \sum_{k=1}^{n} I_k = 0 \]

2 prawo - prawo dla oczek¶

algebraiczna suma sem i napięć w dowolnym obwodzie zamkniętym jest równa $0$.

\[ \sum_{i = 0}^{m} \epsilon_i + \sum_{j=0}^{n} I_j * R_j = 0 \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.18.md

Informacja

dla tych samych warunków brzegowych rozkłąd potencjału elektrycznewgo w ośrodku przewodzącym jest taki sam jak w próżni.

Pole magnetyczne¶

Pojęcie pola magnetycznego i siła Lorentza¶

\[ \vec{F_b} = q \vec{v} \times \vec{B} \]

Linie pola magnetycznego¶

źródłem lini pola jest biegun północny.

Linie pola magnetycznego zawsze tworzą zamknięte pętle.

Strumień pola magnetycznego¶

\[ \Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \]

Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem¶

\[ \vec{F} = \vec{B} \cdot I \cdot \vec{l} \]

Rozważmy pole od zamkniętego przewodnika

Na obwód z prdem działa moment siły będący iloczynem dwóch wektoróœ $\tau = \vec{M_B} \times \vec{B}$ gdzeie $\vec{M_B}$ to moment magnetyczny dipolowy.

Pole magnetyczne wytworzone przez prąd elektryczny¶

Doświadczenie Oersteda i prawo Ampere’a

dla dwolonego przewodu otoczonego dowolnym konturze zamkniętym

\[ \oint B dl = \mu_0 I \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.23.md

Prawo Ampera¶

\[ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{prz}} = \mu_0 I \]

gdzie:

$I$ całkowite natężenie prądu objęte konturem całkowania
$\mu_0 = 4 \pi * 10^{-7} \frac{T*m}{a}$ przenikalność magnetyczna próżni

\[ B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I}{r} \]

Wskazówka

zwojnica = selenoid = cewka

rozważmy zwojnicę o $N$ zwojach:

rozpatrzmy prostokąt przez jeden bok selenoidu.

\[\begin{split} \oint B dl = B a \\ B a = \mu_0 k i \\ n = \frac{N}{L} \text{koncentracja zwojów} \\ k = n * a \\ B \cancel{a} = \mu_0 n \cancel{a} \\ B = \mu_0 n i \\ \\ \Phi_B = B S = \mu_0 n i S = \mu_0 \frac{N}{L} i S \end{split}\]

Oddziaływanie magnetyczne dwóch przewodników z prądem¶

\[ F = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_1}{I_2} \frac{a}{d} \]

Prawo Biot-Savarta¶

przewód dzielimny na elementy prądowe $I dl$. Konstruujey wektor wodzący $r$.

\[ dB = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{dl \times r}{r^3} \]

Prawo Lentza¶

Informacja

indukowany prąd ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, któ©a go wywołała

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.25.md

Indukcyjność wzajemna i włąsna¶

Transformator¶

Transformator - dwie cewki nawinięte na jeden zwój

\[ \epsilon_2 = -\frac{d \Phi}{dt}= -L \frac{dI}{dt} \]

$L$ to indukcyjność $[L] = 1 henr$

\[ \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} = \frac{N_2}{N_1} \]

Rozważmy pojedynczą cewkę o ilości zwojów $N$ i prądzie $I$

\[\begin{split} \Phi = \frac{\mu_0 i N s}{l} \\ \varepsilon = N \frac{d \Phi}{dt} \\ \varepsilon = N \frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 i N s}{l} \right) \\ \varepsilon = L * \frac{dI}{dt} \\ L = \frac{\mu_0 N^2 s}{l} \\ dW = \varepsilon_s dq \\ W = \frac{L I_0^2}{2} \\ \rho_B = \frac{B^2}{2 \mu_0} \\ \end{split}\]

Magnetyczne własności materii¶

Pojęcie monopola magnetycznego¶

Informacja

Nie istnieje monopol magnetyczny

Prawo gaussa dla magnetyzmu¶

Strumień pola magnetycznego przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą daje zawsze $0$

\[\begin{split} \oint \vec{B} \cdot d\vec{R} = 0 \\ div \vec{B} = 0 \end{split}\]

Podstawowe rodzaje materiałów agneteycznych¶

Paramagnetyki¶

namagnesowanie

namagnesowanie to wypadkowe pole namagnesowanego ciała $$ M = \frac{\mu_B}{V} $$

Prawo Curie

zależność $\frac{M}{M_{max}}(\frac{B}{T})$ jest liniowa w stosunkowo dużym zakresie pola

Ważne

paramagnetyki są magnesami jedynie pod działąniem zewnętrznego pola

Diamagnetyki¶

materiały, któ©ych atomy nie mają włąsnych elementów dimagnetycznych.

Ferromagnetyki¶

3 wektory magnetyczne¶

$B$ -indukcja magnetyczna
$M$ -namaganesowanie
$H$ - natężenie pola magnetycznego

\[ H = \frac{B}{\mu_0} - M \]

Zobacz także

\[\begin{split} D = \epsilon_0 E + P \\ \end{split}\]

\[ B = \mu_0 \kappa H \]

Zobacz także

\[ D = \epsilon_0 \epsilon_r E \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.04.30.md

$\vec{B}$ wiąże się ze wzystkimi prądami, skłądowa normalna jest ciągłą
$\vec{H}$ wiąże się tylko z prądami rzeczywistymi

\[\begin{split} M = (\kappa - 1) \vec{H}\\ \chi ~ \kappa -1 \end{split}\]

$\chi$ to podatność magnetyczna$

Drgania elektromagnetyczne i prąd przemienny¶

Obwód RC¶

w obwodzie A łaczymy źródło SEM z kondensatorem i opornikiem. W obwodzie B odłączamy SEM.

\[\begin{split} \epsilon = I^2 R dt + d\left(\frac{Q^2}{C}\right) \\ Q(t) = C* E (-e^{..}) \end{split}\]

w sytuacji B następuje rozładowanie kondensatora.

Obwód RL¶

zamiast kondensatora mamy cewkę

Obwód LC¶

rozważmy obwód złożony wyłącznie z połączonych cewki i kondensatora.

\[\begin{split} \frac{Q}{C} + L \frac{d^2 Q}{dt^2} = 0 \\ \frac{d^2 Q}{dt^2} + \frac{1}{LC} = 0 \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{split}\]

Obwód RLC (Drgania EM tłumione)¶

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.07.md

Impedancja Kondensatora: $\hat{Z_C} = \frac{1}{j \omega C} = - \frac{j}{\omega C}$ Impedancja cewki $\hat{Z_L} = j \omega L$

\[ \hat{Z} = Z e^{j \omega} \hat{I} = \frac{\hat{\epsilon}}{\hat{R}}O \]

Moc w obowodach prądu przemiennego¶

Natężenie i napięcie skuteczne¶

Natężeniem skutecznym nazywamy takie natężenie prądu stałego, któ©y wydziela w tym samym czasie tę samą ilość energii co dany prąd przemienny.

\[ I_{sk} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]

\[\begin{split} dW = U_0 sin(\omega t) I cos(\omega t + \phi) dt \\ W = \int_0^\pi dW = \frac{1}{2} U_0 I_0 cos \phi t \\ P = U_0 I_0 cos \phi \end{split}\]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.09.md

Ruch łądunków w jednorodnym polu elektrycznym¶

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} m \frac{d^2 r }{dt^2} = q \vec{E} \\\end{split}\\\begin{split}\begin{matrix} m \frac{d^2 x}{dt^2} = q E & m \frac{d^2 y}{dt^2} = 0 & m \frac{d^2 z}{dt^2} = 0 \\ v_x = \frac{q E}{m} t + v_0 cos \alpha & v_y = v_0 sin \alpha & v_z = 0 \\ x = \frac{q E}{2m} t^2 + v_0 cos \alpha t & y = v_0 sin \alpha t & z = 0 \\ \end{matrix} \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Ruch ładunków w jednorodnym polu magnetycznym¶

\[\begin{split} F = q v \times B \\ B = [B, 0, 0] \\ \end{split}\]

Ruch łądunków w prostopadłych jednorodnych polach E i B¶

Równania Maxwella w próżni w postaci całkowej¶

prawo Gaussa dla elektrycznośći $\oint_S E s = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
prawo Gaussa dla magnetyzmu $\oint_S B s = 0$
prawo Faradaya dla elektryczności $\oint_L E dl = - \frac{d \Phi_B}{dt}$
prawo Ampera dla magnetyzmu $\oint_L B dl = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d \Phi_E}{dt}$

Równania Maxwell’a w próżni w postaci różniczkowej¶

$div E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$div B = 0$ (pole bezźródłowe)
$rot E = - \frac{d B}{dt}$
$rot B = \mu_0 J + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d E}{dt}$

Równania Maxwella w ogólnej postaci różniczkowej¶

$div D = \rho$
$div B = 0$
$rot E = - \frac{d B}{dt}$
$rot H = J + \frac{d D}{dt}$

\[\begin{split} D = \epsilon_0 \epsilon_r E \\ B = \mu_0 \kappa_m H \\ J = \sigma E \end{split}\]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.14.md

Fale elektromagnetyczne jako konsekwencja równań Maxwell’a¶

Z III Prawa Maxwell’a:

\[ c = \frac{E_0}{B_0} \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.16.md

Wektor Pointing’a¶

\[ \vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} \]

(H to natężenie magnetyczne)

wektor jest róœnoleŋły do kierunku propagacji
jednostka to $\frac{W}{m^2}$ (tzw. powierzchniowa gęstość mocy)

Zachowanie się fali elektromagnetycznej na granicy dwóch ośrodków¶

współczynnik załamania¶

\[ n = \frac{c}{v} \]

$v < c \Rightarrow n \geq 1$

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.21.md

Optyka geometryczna¶

Prawo odbicia i załamania¶

o rożważmy 2 ośrodki o różnych współczynnikach załamania $n_@ > n_1$ Promień światła białego pada na granicę ośrodków pod kąßem $\alpha$.

Prawo odbicia

kąt padania jest równy kątowi odbicia
promień padająćy, normalna powierzchni i promień odbity leżą w jednej płąszczyźnie

prawo załamania

stosunek sinusa kąßa padania do sinusa kata załamania jest równy stosunkowi ośrodka 2 do ośrodka 1

Całkowite wewnętrzne odbicie¶

promień światła przechodzi z ośrodka gęstrzego do rzadszego.

Pryzmat¶

\[ n sin \frac{\theta}{2} = sin \frac{\theta + \gamma_{min}}{2} \]

w przybliżeniu $\gamma_{min} = (n-1)\theta$

Powstawanie tęczy¶

na kuliste kropelki wody pada światło słoneczne

soczewki i zwierciadła¶

Analiza obrazu¶

rzeczywisty/urojony (pozorny)
powiększony/pomniejszony
prosty/odwrócony

typ	pomniejszony/powiększony	odwrócony/prosty	rzeczywisty/urojony	notatki
zwierciadło proste	równy	odwrócony	urojony
zwierciadło kuliste wklęsłe $x>2f$	pomniejszony	odwrócony	rzeczywisty	$f = \frac{r}{2}$

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.23.md

\[ \frac{n_1}{x} + \frac{n_1}{y} = (n_1 - n_2)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) \]

Optyka falowa¶

interferencja i dyfrakcja światła, siatka dyfraktcyjna¶

Doświadczenie Yanga¶

przez dwie szczeliny przechodzi fala płaska.

Na ekranie obserwujemy natężenie światła

\[ d sin \Theta = m \lambda \]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} E_1 = E_0 sin \omega t\\ E_2 = E_0 sin (\omega t + \phi) \\ E = E_1 + E_2 = E_0 (sin \omega t + sin (\omega t + \phi)) = 2 E_0 cos \frac{\phi}{2} sin (\omega t + \frac{\phi}{2}) \\ E_{\Theta} = 2 E_0 cos \beta ~ \beta = \frac{\Theta}{2} \\\end{split}\\I_{\Theta} = I_m cos \beta \end{aligned}\end{align} \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.05.28.md

Interferencja światłą w cienkich błonkach¶

jeden promień odbija się od powierzchni błony, a drugi “W błonie”. dochodzi do zmiany fazy dla fali która odbija się od osrodka żadszego (2).

\[ 2 d n = \left(m+\frac{1}{2}\right) \lambda \]

ponieważ w powyższym róœnaniu występuje współczynnik załamania (różny dla każdej barwy) można zauważyć ciekawe efektyw izualne.

Dyfrakcja światła na szczelninie¶

Szczelinę dzielimy na $n$ małych kawałków ($n \to \infty$) i dla każdego kawałka obliczamy różnicę dróg dla dwóch promieni. Sumujemy te różnice i otrzymujemy

\[ I_{\Theta} = I_w * \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^2 \]

Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwuch szczelinach¶

\[\begin{split} I_{\Theta} = I_n * \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^2 * \cos^2 \beta \\ \beta = \frac{\pi d}{\lambda} \sin \Theta \\ \alpha = \frac{\pi a}{\lambda} \sin \Theta \end{split}\]

Siatka dyfkrakcyjna¶

układ wielu szczelin

Rozważmy układ $n=5$ szczelin o szerokości $a$ każda.

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.06.04.md

\[\begin{split} \Delta \Theta_0 = \frac{\lambda}{N d} \\ \Delta \Theta_m = \frac{\lambda}{N d cos \Theta_m} \\ \end{split}\]

Siatka dyfrakcyjna (rozdzielczość)¶

$d$ to tzw. stała siatki $d \approx 2 \mu m$

\[ d sin \Theta_m = m \lambda \]

Zdolność rozdzielcza `$R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda}$

Różniczkujemy definicję i porównujemy z równaniem siatki $R = ... = N m$

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.06.11.md

STW a elektromagnetyzm¶

Uwagi wstępne¶

jeśli łądunek spoczywa wytwarza tylko pole E, a jak się porusza to wytwarza pole B, ale jeżeli jeden obserwator się porusza?

Względny charakter sił pola elektro-magnetycznego¶

W ukłądzie $S'$ ładunki dodatnie poruszają się, a ujemne pozostją w miejscu.

Efekt relatywistyczny polega na tym, że pojawia się nowe pole elektryczne.

Jest tak, ponieważ dojdzie do skrócenia lorentza na długość przewodu (i gęstości ładunków)

\[ \rho_{-} = \gamma \rho'_{-} \]

\rho_{+}’ = \gamma \rho \rho’ = \rho (\gamma - \frac{1}{\gamma}) \ $$

Czterowektory¶

czterowektor położenia

\[ \mathbb{R} = (ct,x,y,z) \]

czterowektor pędu

\[ \mathbb{P} = (\frac{E}{c}, p_1, p_2, p_3) \]

czterowektor prądu

\[ \mathbb{j} = (c \rho, j_1, j_2, j_3) \]

czteropotencjał

\[ \mathbb{A} = (\frac{\phi}{c}, \vec{A}) \]

czterogradient

\[ \mathbb{\nabla} = (\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, - \nabla) \]

Notatki z pliku notes/02eio/eio_2024.06.13.md

Zjawisko fotoelektryczne¶

Energia wybitych elektronów zależy jedynie od “koloru” fotonów

\[ E_k = h \nu - W \]

gdzie W to praca wyjścia

Doświadczennie yanga w kontekście fotonowego modelu światła¶

eksperyment dyfrakcyjny z opóźnionym wyborem

Elementy OTW¶

powinny być sformuowane w taki sposób, że nie jest możliwe rozróżnienie między jednorodnym polem grawitacyjnym a ukłądem nieniercjalnym

Notatki z pliku notes/02eio/eio_egzamin.md

zagadnienia na egzamin z EiO¶

1.1 fale w ośrodku dyspersyjnym¶

\[ k = \frac{2 \pi}{\lambda} \psi(x,t) = A sin(k(x+vt) = A sin(kx + ) \]

Q: Proszę opisać ruch falowy w ośrodku dyspersyjnym i prędkość grupową

A:

Ruch falowy w ośrodku dyspersyjnym to ruch falowy, w którym prędkość fazowa fali zależy od częstotliwości $\omega = \omega(k)$.

\[\begin{split} v_g = \frac{d\omega}{dk} \\ niech~\omega = v k \\ v_g = \frac{d(vk)}{dk} = v v_g = v + k \frac{dv}{dk} \end{split}\]

Prędkość grupowa to prędkość obwiedni kilku złożonych fal harmonicznych.

wykres sinusa z obwiednią

\[ y = y_0 sin(kx - \omega t) + y_0 sin(k'x - \omega' t) = 2y_0 sin(\frac{k+k'}{2}x - \frac{\omega + \omega'}{2}t) cos(\frac{k-k'}{2}x - \frac{\omega - \omega'}{2}t) \]

Można ją przedstawić jako pochodną prędkości fazowej po wektorze falowym.

\[ v_g = \frac{d\omega}{dk} \]

1.2 Równanie d’Alemberta¶

Q: Opisać równanie d’Alemberta w 3 wymiarach. Do jakich fal się odnosi?

A:

Równanie d’Alemberta w 3 wymiarach to równanie różniczkowe drugiego rzędu, które opisuje ruch falowy w ośrodku jednorodnym i izotropowym.

\[ v^2 \Delta \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \]

chyba elaborate? TODO

1.3 energia stw¶

Q: Opisać problem energii w ujęciu relatywistycznym

A:

W ujęciu relatywistycznym energia jest sumą energji spoczynkowej i kinetycznej.

\[ E = m c^2 = \gamma m_0 c^2 = E_0 + E_k \]

ref: jezierski wzory 1 str 113

1.4 problem pędu relatywistycznego¶

**Q:$$ Problem pędu relatywistycznego

A:

Pęd relatywistyczny to pęd, który uwzględnia zależność masy od prędkości.

\[ p = \gamma m v \]

ELABORATE

1.5 Relatywistyczny efekt Dopplera¶

Q: Relatywistyczny efekt dopplera

A:

Relatywistyczny efekt Dopplera to zjawisko zmiany częstotliwości fali elektromagnetycznej w wyniku ruchu źródła fali.

\[\]

gdzie $\beta = \frac{v}{c}$