Notatki z pliku notes/statystyczna/statystyczna_0000.00.00.md

Matematyka Statystyczna

Notatki z pliku notes/statystyczna/statystyczna_2024.10.07.md

https://home.agh.edu.pl/mariuszp

Wstęp / pojęcia podstawowe

populacja - zbiór wszystkich przedstawicieli przedstawiających daną cechę

próbka losowa - reprezentatywna próbka całej populacji

prób prosta - ma miejsce gdy prawdopodobieństwo jednego wyboru nie ma wpływu na kolejne/inne wybory (białe/czarne kule, losowanie z/bez zwracania)

zachowanie ukłądu któ©ego nie jesteśmy w stanie przewidzieć nazywamy przypadkowym a miarą przypadkowośći jest prawdopodobieńśtwo.

zdarzenie losowe - dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych

zdarzenie elementarne musi być ekskluzywne (nie zawiera innych zdarzeń elementarnych)

Prawdopodobieńśtwo: Każdemu zdarzeniu losowemu z PZA przypisujemy liczbę określająćą prawdoopodbieńśtwo tego zdarzenia (0, 1). zdarzenie pewne = 1 prawdopodobieńśtwo Sumay ekskluzywnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieńśtw.

prawdopodobieństwo subiektywne

gdy nie wiemy czy dane są prawdziwe (np. czy istnieje życie pod powierzchnią oceanu jednego z księżyców saturna).

albo, czy wolisz dostać 100 czy wziąć udział w loterii o 1000

Prawa De Morgana

\[\begin{split} \bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \\ \bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \end{split}\]

Prawo rozdzielności dodawania i mnożenia

\[\begin{split} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{split}\]

Wnioski:

\[\begin{split} A \cup B = A \cup (B - A \cap B) \\ \end{split}\]

Wskazówka

Prawdopodobieńśtwo zdarzenia przeciwnego jes trówne \(P(\bar{A}) = 1-P(A)\)

Wiele sdarzeń

\[ P(U_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \sum_{k=j+1}^{n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \ldots \]

przykłąd

A_i = i-ta ścianka nie wypadła ani raz \(P(A_i) = \frac{5}{t}^n\) \(A_j\) = dowolne 2 śicanki nie wypadły ani raz \(P(A_j) = \frac{2}{3}^n\) itd.

formuła wł/wył

$$

rozszerzenie pojęć kombinatorycznych

dwa typy losowań:

  • bez powtórzeń - raz wylosowany element nie wraca do populcji

  • z powtórzeniami - element wraca do populacji

Jeżeli kolejność jest istotna to warjacja, jeśli nie to kiombinacja

  • Warjacja z powtórzeniami \(W(n, k) = n^k\) (np. rozkłąd n rozróżnialnych cząstek w k komórkach)

  • warjacja bez powtórzeń \(V(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}\) (k rozróżnialnych kól w n komórkach gdy w komórce może być tylko jedna kula) (winda)

  • Permutacja \(P(n) = n!\) (Boltzman: k kul w k komórkach)

  • Kombinacja bez powtórzeń \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

  • kombinacje z powtó©zniami \(C(n+k-1, k)\)

Notatki z pliku notes/statystyczna/statystyczna_2024.10.07_post.md

Wskazówka

Przez \(P(E)\) profesor oznacza zdarzenie elementarne

Kwestia/przykład o kulach

Jest \(N\) komórek. Do każdej z nich można włożyć kulę/kilka kul (zależy od typu losowania). Kule mogą być rozróżnialne (na przykład ponumerowane) lub nierozróżnialne Istnieje też przypadek, w którym równiez komórki są nierozróżnialne.

Notatki z pliku notes/statystyczna/statystyczna_2024.10.11.md

Prawdopodobieńśtwo warunkowe

\[ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Statystyczna niezależność zdarzeń

Jeżeli \(p9a\cap B) = P(A) * P(B)\) zdarzenia nazywamy niezależnymi.

[więcej na prezentacji]

Notatki z pliku notes/statystyczna/statystyczna_2024.10.16.md

Zmienna losowa

Ref:

Zmienna losowa jest jak zwykła zmienna tylko że jest losowa.

Są 2 typy zm. Losowych:

  • dyskretna - są konkretne wartości jakie może przyjmować

  • ciągła - przyjmuje wszystkie wartośći z przedziału

Notatki z pliku notes/statystyczna/statystyczna_2024.10.31.md

Dobra, po kolei:

ref;

  • https://www.youtube.com/watch?v=OvTEhNL96v0

  • https://home.agh.edu.pl/~mariuszp/wfiis_stat/wyklad_stat_4.pdf

Wartość Oczekiwana

Wartość oczekiwana to teoretyczna (bo liczymy prawdopodobieństwo) wartość średniej pomiarów/danych.

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i * p(x_i) \]

Wskazówka

Dlaczeog średnia?

Rozważmy taką tabelkę:

\(x_i\)

1

2

3

\(p(x_i)\)

0.2

0.5

0.3

To przecież oznacza, że gdybyśmy zrobili 10 pomiarów, to 2 z nich to byłoby 1, 5 - 2 i 3 3. Prawdopodobieństwo \(p(x_i) oznacza procentowy udział \)x_i$ w docelowych pomiarach.

\[ \bar{x} = \frac{1 + 1 + 5 * 2 + 3 * 3}{10} = (1 * 0.2) + (2 * 0.5) + (3 * 0.3) = \Sum_{i = 1}^{3} x_i * p(x_i) \]

hehe, mam nadzieję że to jasne.

Informacja

Oznaczenia: na wartość oczekiwaną X mamy następujące oznaczenia

  • \(E(x)\) (z youtube) również \(\mu\)

  • profesor oznacza jako \(\epsilon\left[x\right] = \left<x\right>\)

Informacja

Wartość Oczekiwana Funkcji Zmiennej losowej \(E(g(x)) = \Sum_{i} g(x_i) * p(x_i)\)

Notatki z pliku notes/statystyczna/wyklady_tracker.md

Tracker wykłądóœ

  • 07.10.2024 (dodatkowy)