Szereg ortonormalny¶

Ortonormalne funkcje definiujemy przy pomocy delty kronekera (w sumie czym sie różńi delta diraca od kronekera?).

\[ \braket{f_i|f_j} = \delta_{ij} \]

funkcja wagowa

Taka losowa wstawka o funkcji wagowej \(w(x)\) by chatgpt:

Funkcja wagowa (\(w(x)\)) nazywa się tak, bo… wprowadza wage dla skłądnikóœ iloczynu skalarnego funkcji. W normalnym przypadku, \(w(x)=1\). Natomiast istnieją sytuacjie, w których tak nie jest:

wielomiany Laguer’a \(w(x) = e^{-x}\)
wielomiany hamiltona \(w(x) = e^{-x^2}\)

Natomiast można też zrobić warunek na ortogonalność wprowadzająć stałą normalizacyjną \(N_i\):

\[ \braket{f_i|f_j} = N_i \delta_{ij} \]

Można zdefiniować ciąg ortogonalny. Funkcje \(f_n\) są liniowo niezależne, wtedy:

\[\begin{split} \Phi_1 = f_1 \\ \Phi_n = f_n - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\braket{f_k|\Phi_k}}{\braket{\Phi_k | \Phi_k}} \end{split}\]

Czyli od każdej funkcji odejmujemy tę jej część która jest zależna od poprzednich wyrazów ciągu

Wskazówka

Na wektorach to fajnie widać:

\(\braket{f_k | \Phi_k}\) to dłutość rzutu \(f_k\) na \(\Phi_k\) pomnożona przez długość \(\Phi_k\), natomiast \(\braket{\phi_k|\Phi_k}\) to po prostu długość \(\Phi_k\) w kwadracie. W efekcie ułamek to długość rzutu \(f_k\) na \(\Phi_k\) do długości \(\Phi_k\), czyli:

Jaki procent \(f_k\) stanowi jej rzut (czyli tak jakby liniowa zależność) na \(\Phi_k\)

Jeżeli chcemy rozwinąć funkcje \(f\) w szereg ortogonalny (zakłądamy że mamy zbiór funkcji ortogonalnych - jak wyżej):

Zawsze można zrobić: \(f = \sum_k^\infty c_k \phi_k\)

\[\begin{split} f &= \sum_k^\infty c_k \Phi_k \\ \braket{f | \Phi_n} &= \braket{\sum_k^\infty c_k \Phi_k | \Phi_n} \\ \braket{f | \Phi_n} &= \sum_k^\infty c_k \braket{\Phi_k | \Phi_n} \\ \braket{f | \Phi_n} &= \sum_k^\infty c_k N_k \delta_{kn} \\ \braket{f | \Phi_n} &= c_n N_n \\ c_n &= \frac{\braket{f | \Phi_n}}{\braket{\Phi_n | \Phi_n}} \end{split}\]

Ostrzeżenie

to wyprowadzenie jest częściowo niepoprawne: tutaj zakłądamy (chat zakłąda) matematyczną definicje iloczynu skalarnego. Gdybyśmy chcieli zrobić to po fizycznemu to trzebaby domnożyć przez \(\bra{\Phi_n}\) (żeby sprzężenia się zgodziły). Chociaż to pewnie nie ma znaczenia bo można obustronnie sprzężyć najpierw.

No i dotąd jest odpowiedź na 2.4 (właśnie ogarnołem że to jest A nie 2, ale trudno)

Pojęcie Operatora¶

Nie do końća wiem co znaczą znaczki w wykłądzie, ale chyba chodzi o to że operator to takie coś co jest wewnętrzne dla danej przestrzeni (działa \(\hat V : V \to V\))

Operator jest liniowy wtedy gdy jest liniowy.

Działania na operatorach:

dodawanie: operatory możńa dodać do siebie (wtedy ich dziedziny \(D_{1 + 2} = D_1 \cap D_2\))
mnożenie przez skalar
mnożenie \((L_1 L_2)f = L_1(L_2 f) = L_1 L_2 f\)

Sprzężenie po hermitowsku: \(\hat L^\dagger\)

\[ \braket{g | \hat L f } = {\hat L^\dagger g | f} \]

Operator hermitowski to taki, który się nie zmienia przy sprzężeniu \(\hat L = \hat L ^ \dagger\).

Ważne

Operator sprzężony po hermitowsku to nie jest operator hermitowski!

Przykłady:

operator pochodnej \(\frac{d}{dx}\). Podstawiamy, robimy trick z całkowaniem przez części, wychodzi, że \(\hat L \to - \hat L\) abo nie (zależy od krańców przedziałów oznaczoności funkcji cokolwiek to znaczy).

Operator pędu \(\hat p = - i \hbar \frac{d}{dx}\). Tutaj z marszu zakładamy że krańce dziedziny są 0 więc od razu wychodzi że operator jest samosprzężony (bo ma i w sobie, któ©e się sprzęga niwelująć -).

No i tu końćzy się 2.5

Funkcjonał¶

To jakaś truktura typu funkcja \(\to\) liczba.

nośnik funkcji

to zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje niezerowe wartości

Nośnik jest zwarty jak przedział jest domknięty.

funkcje prubne

Są fajne.

ciągłe z pochodnymi wszystkich rzędów
zwarty nośnik

No i w sumie z wykłądu nie dowiedzieliśmy się czym jest funkcjonał. Chat pisze że to po prosatu funkcja tylko zamiast liczby przyjmuje element przestrzeni liniowej (np. funkcje).

Przykład \(F(f) = \int_a^b f(x) dx\)

FUnkcjonały mogą być liniowe (bo czemu nie) wtedy gdy są liniowe.

Dystrybucje¶

Dystrybucja to ciągły funkcjonał określony na zbiorze funkcji próbnych.

Innymi słowy: funkcjonał przyjmujący jako argument funkcje, która jest ciągła z pochodnymi wszystkich rzędów oraz ma zwarty nośnik.

Definiujemy: \(\Phi\) zbió© funkcji próbnych. \(T\) to funkcjonał (dystrybucja):

\[ T(\Phi) = \braket{f_T | \Phi} \]

\(f_T\) nazywa się generatorem dystrybucji.

własności:

jest liniowy
nie wiem jak to sie nazywa ale \(T[\Phi] = S[\Phi] \Leftrightarrow \braket{T | \Phi} = \braket{S | \Phi}\)

Z tego wynika ze dystrybucje sa elementami przestrzeni liniowej.

Działania:

jak mnożymy x (zmienną niezależną) przez stałą \(\alpha\) to mamy \(T[f(x')] = \left\{ x = \alpha x' \right\} = \frac{1}{\alpha} T[f(\frac{1}{\alpha})]\)
przesuwanie dystrubucji \(T[f(x')] = \left\{x = x' - x_0 \right\} = T[f(x+x_0)]\)
różniczkowanie dystrybucji \(T'[f] = -T[f']\)
n’ta pochodna dystrybucji analogicznie.

Przykłądy:

generator typu \(f_T(x) = |x|\) liczymy \(T'(f)\) wychodzi nam, że generator takiej dystrybucji wynosi \(sig(x)\) (przy liczeniu przez części wyraz znika bo jest zwarty nośnik więc \(0 * \infty = 0\), lol)

Dystrybucja regularna: dystrybucja generowana przez funkcje lokalnie całkowalną

funkcja lokalnie całkowalna

\[ \int_\Omega dx |f(x)| < \infty \]

Dystrybucja osobliwa to nieregularna

No i to chyba było do 2.6 i 2.7.

Delta diraca¶

Bierzemy funkcje słupkową (stałą, whatever).

\[\begin{split} d_\epsilon(x) = \left\{ \begin{matrix} const, & x \in (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \\ 0, & x \notin (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \end{matrix} \right. \end{split}\]

Jeżeli ma to być impuls jednostkowy, to \(\int_{-\infty}^\infty d_\epsilon(x) dx = 1\).

Z tego mamy, że \(2 \epsilon \text{const} = 1 \Rightarrow \text{const} = \frac{1}{2\epsilon}\).

Całka z tej funkcji, dla \(\epsilon \to 0\) wynosi \(1\).

Kochani, budujemy dystrybucje!

Generatorem tej bestii będzie \(d(x-x_0)\), przeto \(d[\Phi] = \braket{d(x-x_0) | \Phi} = \Phi(x_0)\).

No i mamy delte diraca.

Twierdzenie filtracyjne: dla dowolnej funkcji ciąŋłej \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), zachodzi:

\[ \int_\Omega dx \delta(x - x_0) f(x) = f(x_0) \]

Tak jakby ktoś nie zauważył, to \(\delta\) to innymi słowy \(\lim_{\epsilon\to 0} d_\epsilon (x)\)

ciekawe zaqleżnośći:

ortogonalność \(\braket{x|y} = \delta(x-y)\)
relacja zupełności

Transformaty całkowe¶

Transformata fouriera¶

Mamy funkcje okresową (delta okresową). Można zwielokrotnić okres bo tak. Jak całkujemy po okresie to nie zależy odkąd zaczynamy.

Ogulnie transformować możemy funkcje okresowe.

funckje parzyste możńa rozwijać w szeregi cosinusów a nieparzyste - sinusów.

Można zeskalować funkcje na przedział szerszy niż \([-\pi,\pi]\). wtedy zamiast \(\pi\) mamy \(l\).

Warunki dirichleta:

jest przedziałami monotoniczna na przedziale
jest ciągła z wyjątkiem skończonej liczby punktów. w tych punktach nieciągłości punkt ma być średnią arytmetyczną z \(\epsilon_-\) i \(\epsilon_+\).
\(f(a) = f(b) = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))\)

Jeżeli funkcja spełnia w/w warunki to jest rozwijalna w szereg fouriera.

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n cos(k_n x) + \sum_{n=1}^\infty b_n sin(k_n x) \]

Teraz uwaga! będzie mocne.

Funkcja która nie jest \(\Delta\)-okresowa może być traktowana jak funkcja okresowa z \(\Delta \to \infty\).

Mamy transformate dla funkcji 2l-okresowej:

\[\begin{split} f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{ik_n x} \\ c_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^l dx e^{-ik_n x} f(x) \end{split}\]

robimy śmie3szne rzeczy z podstawieniem \(\frac{1}{l} = \frac{\Delta k_n}{\pi}\). Przy granicy \(l\to\infty\) otrzymujemy:

\[ f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int dk \left(\int dx' e^{-ikx'}f(x')\right) e^{ikx} \]

Równania cząstkowe 2 rzędu cząstkowe¶

Mamy równanie postaci:

\[ \sum_i^n \sum_j^n a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u(x) + \sum_i^n b_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i} u(x) + c(x) u(x) = f(x) \]

czyli mamy współczynniki a, b, c, funkcje szukaną \(u\) i niejednorodność \(f(x)\)

Ten cały przód definiujemy jako operator \(\hat L\)

\[ \hat L u(x) = f(x) \]

Superpozycja: jak znamy jakieś rozwiązania, to ich kombinacja liniowa też jest rozwiązaniem.

Jeżeli znamy dwa rozwiązania róœnania niejdenorodnego \(u_1\) i \(u_2\), to \(u = u_1 -u_2\) jest rozwiązaniem równania jednorodnego.

Można więc zapisać, że \(u(x) = \Phi(x) + \Chi(x)\), gdzie \(\Chi\) jest rozwiązaniem ogulnym jednorodnego a \(\Phi\) jest rozwiązaniem częściowym niejednorodnego.

Rozwiązywanie:

bierzemy jednorodne i wyznaczamy rozwiązanie
liczymy rozwiązanie szczegulne dla niejednorodnego (np. pomijamy wtedy stałe całkowania ?)
sumujemy 1 i 2

Operator różniczkowy 2 rzędu można podzielić na dwie części:

\(\hat L = \hat L_0 + \hat l\)

Funkcja Greena¶

Mamy rozwiązanie klasyczne ukłądu równań: \(y = \hat L ^{-1} f\) gdzie:

\(y\) - wektor zmiennych
\(\hat L\) - macierz współczynników
\(f\) - wektor stałych

teraz zmieniamy oznaczenia żeby było bardziej fancy (przy okazji przechodzi do przestrzeni liniowej o \(\infty\) wymiarach, bo czmeu nie)

(1)¶\[\begin{split} \ket y &= \hat L^{-1} \ket f \\ \braket{x|y} &= \bra{x} \hat L^{-1} \ket f \\ \int dx \ket x \bra x &= \mathbb{1} \\ \braket{x|y} &= \int dx' \bra{x} \hat L ^ {-1} \ket{x'} \bra{x'} \ket f \\ y(x) &= \int dx' G(x, x') f(x') \end{split}\]

Przyjacielu, teraz pewnie zastanawiasz się co tu się stało? Odpowiedź jest trywialna - nie wiem.

Funkcja greena \(G(x,x') = \bra x \hat L ^{-1} \ket{x'}\) to operator rezolwenty zapisany w bazie x.

Dobra, teraz sie skupcie. Bierzemy operator róœnania różniczkowego niejednorodnego cząstowego 2 rzędu.

\[ \Hat L y(x) = -f(x) \]

I robimy magie:

\[\begin{split} \hat L G(x,x') = - \delta (x - x') \\ \int dx' f(x') \hat L G(x,x') = - \int dx' f(x') \delta (x - x') \\ \hat L \int dx' f(x') G(x,x') = - \int dx' f(x') \delta (x - x') \\ \hat L y(x) = f(x) \end{split}\]

Ostatnie przejście jest z tego co było wyżej. (dobra zrobie wam nawet odnośnik: (1) )

Możńa podstawić jawnie \(\hat L\), całkujemy w granicy \(|_{x-\epsilon}^{x+\epsilon}\).

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} r(x') \lim_{\epsilon \to 0} G(x,x') |_a^b = -1 \\\end{split}\\\begin{split}\lim_{\epsilon \to 0} G(x,x') |_a^b = -\frac{1}{r(x')} \\ \end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Podssumowanie analizy:

funkcja Greena spełnia warunki brzegowe równania jednorodego \(\hat L G_{L, P}(x,x') = 0\) w punktach a i b
Funkcja Greena spełnia również warunki brzegowe w w/w sytuacjach
Funkcja Greena jest ciągła w punkcie podziału \(x=x' \Rightarrow G_l(x',x') = G_p(x',x')\)
Funkcja Greena ma skok w punkcie podziału \(G_p(x',x') - G_l(x',x') = - \frac{1}{r(x')}\)