Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_0000.00.00.md

Matematyka 3

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.10.11.md

  • egzamin pisemny (część teoretyczna i obliczeniowa)

  • kolokwium poprawkowe razem z egzaminem

  • zbió© zadań Stańkiewicza (Witold Stańkiewicz) - Zadania z Matematyki dla wyższych uczelni technicznych (cz. 1 B) link

  • Stańkiewicz + Wojtowicz (część 2)

szeregi liczbowe (pojęcie zbierzności sz.l.)

dla ciąŋu \(a_n\) definiujemy ciąŋ \(s_n\) gdzie \(s_1 = a_1\) i \(s_{n+1} = s_n + a_n\)

Mówimy, że szereg \(a_n\) jest zbierzny jeżeli ciąg \(s_n\) ma granicę właściwą \(S\), wtedy \(\sum a_n = S\).

twierdzenie

z: Szereg \(a_n\) jest zbierzny

T: ciąg wyrazów z tego szeregu zmierza do 0

D: $\( a_n = s_n - s_{n-1} \\ n \to \infty \\ a_n = S - S = 0 \)$

przykładowo szereg \(\frac{1}{n}\) nie jest zbierzny, bo \(\lim s_n - s_{2n} \to \frac{-1}{2}\)

>

Szereg liczbowy jest bezwzględnie zbierzny jeżeli zbierzny jest szereg szereg wartości bezwszględnych

szereg anharmoniczny

szereg \(\frac{(-1)^n}{n}\) jest zbierzny (later), ale nie jest zbierzny bezwzględnie (szereg harmoniczny nie jest zbierzny).

Kryteria zbierzności szeregu

  • kryterium porównawcze \(|a_n| < |b_n|\) i \(b_n\) jest bezwzględnie zbierzny \(\Rightarrow\) to znaczy że \(a_n\) również

Kryterium Cossiego

\(\gamma = \lim \root\of{n}{|a_n|} jeżeli \)\gamma < 1\( to szereg \)a_n\( jest bezwzględnie zbierzny. jeżeli \)\gamma > 1$ nie jest bezwzględnie zbierzny (jest można nawet powiedzieć rozbierzny).

Kryterium d’Alamberta

\(\gamma = \lim \frac{a_{n-1}}{a_n}\) dalej tak samo jak wyżej

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.10.18.md

Kryterium Całkowe:

  • jeżeli wyrazy w szeregu zsą dodatnie

  • dana jest f-cja, malejąća \(f(n) = a_n\)

  • ciąŋ jest zbierzny \(\Leftrightarrow \int_1^\infty f(n) dn\) jest zbierzna

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.10.25.md

Szereg funkcyjny potęgowy

\[ \begin{align}\begin{aligned} a_n = a_0(x-x_0)^n\\r = \frac{1}{\lambda} \lambda = \root \of{n}{a_n}\\r = \frac{1}{\lambda} \lambda = \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{aligned}\end{align} \]

Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego

szereg potęgowy można różniczkować wyraz po wyrazie.

Rozwijanie fcji w szereg potęgowy

\[ Q(x) = \int_{x_0}^{x} f(x) dx \]

Jest funkcją pierwotn, takż, że \(Q(x_0) = 0\)

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.11.15.md

Szereg trygonometryczny Furiera

\( f(x) = \frac{1}{2} x \\ a_0 = \frac{1}{4\pi} \int_{-\pi}^{pi} f(x)\\ \)

Warunki divikleta

  • funkcja jest przedziałąmi ciągła w przedziale

  • funkcja ma skończone granice jednostronne

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.12.15.md

Szeregi Fouriera

Po pierwsze, przepraszam za długi brak update’ów strony - w tym semestrze wiekszość rzeczy zamiast z wykładów ogarniam z youtube albo gotowych prezentacji ze stron prowadzących, więc robienie notatek na bierząco przestało mieć sens. Zapraszam do zerknięcia na ref’y na poszczegulnych podstronach.

Rozważamy funkcję \(f(x)\) na przedziale \([-p, p]\). Wtedy szereg Fouriera tej funkcji to:

Warunki Dirichleta:

  • funkcja jest przedziałami monotonicnza (czyli na przykład nie funkcja weierstrassa)

  • funkcja ma skończoną liczbę punktów nieciągłości, z tym, że \(f(x) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\)

  • funkcja na granicach przedziału spełnia warunek \(f(-p) = f(p) = \frac{f(p) + f(b)}{2}\)

Definiujemy następujące ciągi:

\[\begin{split} a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{p}\right) dx \\ b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{p}\right) dx \end{split}\]

Wskazówka

w skrajnym przypadku \(a_0\) przyjmuje postać:

\[ a_0 = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx \]

Szereg Fouriera funkcji \(f(X)\) przyjmuje następującą postać:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{p}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{p}\right)\right) \]

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2025.01.10.md

Równanie Różniczkowe cząstkowe 2 rzędu

\[ A(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = D(x,y) \]

Niech \(\Delta = B^2 - AC\).

dla \(\Delta > 0 \) równanie paraboliczne. Ma jedną rodzinę charakterystyk \(F_1(x,y) = C_1\)