Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_0000.00.00.md

Matematyka 3¶

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.10.11.md

egzamin pisemny (część teoretyczna i obliczeniowa)
kolokwium poprawkowe razem z egzaminem
zbió© zadań Stańkiewicza (Witold Stańkiewicz) - Zadania z Matematyki dla wyższych uczelni technicznych (cz. 1 B) link
Stańkiewicz + Wojtowicz (część 2)

szeregi liczbowe (pojęcie zbierzności sz.l.)¶

dla ciąŋu $a_n$ definiujemy ciąŋ $s_n$ gdzie $s_1 = a_1$ i $s_{n+1} = s_n + a_n$

Mówimy, że szereg $a_n$ jest zbierzny jeżeli ciąg $s_n$ ma granicę właściwą $S$, wtedy $\sum a_n = S$.

twierdzenie

z: Szereg $a_n$ jest zbierzny

T: ciąg wyrazów z tego szeregu zmierza do 0

D: $$ a_n = s_n - s_{n-1} \\ n \to \infty \\ a_n = S - S = 0 $$

przykładowo szereg $\frac{1}{n}$ nie jest zbierzny, bo $\lim s_n - s_{2n} \to \frac{-1}{2}$

>

Szereg liczbowy jest bezwzględnie zbierzny jeżeli zbierzny jest szereg szereg wartości bezwszględnych

szereg anharmoniczny¶

szereg $\frac{(-1)^n}{n}$ jest zbierzny (later), ale nie jest zbierzny bezwzględnie (szereg harmoniczny nie jest zbierzny).

Kryteria zbierzności szeregu¶

kryterium porównawcze $|a_n| < |b_n|$ i $b_n$ jest bezwzględnie zbierzny $\Rightarrow$ to znaczy że $a_n$ również

Kryterium Cossiego¶

$\gamma = \lim \root{n}{|a_n|} jeżeli $\gamma < 1$ to szereg $a_n$ jest bezwzględnie zbierzny. jeżeli $\gamma > 1$ nie jest bezwzględnie zbierzny (jest można nawet powiedzieć rozbierzny).

Kryterium d’Alamberta¶

$\gamma = \lim \frac{a_{n-1}}{a_n}$ dalej tak samo jak wyżej

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.10.18.md

Kryterium Całkowe:

jeżeli wyrazy w szeregu zsą dodatnie
dana jest f-cja, malejąća $f(n) = a_n$
ciąŋ jest zbierzny $\Leftrightarrow \int_1^\infty f(n) dn$ jest zbierzna

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.10.25.md

Szereg funkcyjny potęgowy¶

\[ \begin{align}\begin{aligned} a_n = a_0(x-x_0)^n\\r = \frac{1}{\lambda} \lambda = \root{n}{a_n}\\r = \frac{1}{\lambda} \lambda = \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{aligned}\end{align} \]

Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego¶

szereg potęgowy można różniczkować wyraz po wyrazie.

Rozwijanie fcji w szereg potęgowy¶

\[ Q(x) = \int_{x_0}^{x} f(x) dx \]

Jest funkcją pierwotn, takż, że $Q(x_0) = 0$

Notatki z pliku notes/matematyka3/matematyka_2024.11.15.md

Szereg trygonometryczny Furiera¶

$ f(x) = \frac{1}{2} x \\ a_0 = \frac{1}{4\pi} \int_{-\pi}^{pi} f(x)\\ $

Warunki divikleta

funkcja jest przedziałąmi ciągła w przedziale
funkcja ma skończone granice jednostronne